連続する2整数が互いに素(最大公約数が1)なのはなぜですか

参考書には説明なく書いているのですが。。。

なので感覚的に分かるはずなのでしょうか？

感覚的なご説明と論理的な証明をご教授頂きたいですを

よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• ？？？
  
  差が１なことが感覚的な理由や証明になるのはなぜですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/22 11:43

• 皆様ありがとうございます！よくわかりました！

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/23 16:37

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/22 11:51

１．感覚的に

　・両方が「２の倍数」であるなら、差が「２」の倍数になるはず。
　・両方が「３の倍数」であるなら、差が「３」の倍数になるはず。
　　・・・・
　・両方が「N（≧2）の倍数」であるなら、差が「N」の倍数になるはず。

　差が「１」しかないのだから、このどれにも当てはまらない。
　従って、公約数は「1」のみ。

２．論理的に
　ある整数 A とA+1 とが、共通の因数 ｋ(k は正の整数） を持つとすると、適当なゼロでない整数 m, n ( m ≠ n )を使って
　　　A = mk
　　　A + 1 = nk
と表わせる。
　従って
　　( A + 1 ) - A = ( n - m )k = 1
m ≠ n なので
　　k = 1/( n - m )　　　（１）

k が「正の整数」になるのは、
　　 n - m = 1
のときだけで、そのとき
　　k = 1
である。

（ n - m ≧ 2 のときには、 （１）より k < 1 となり、「正の整数」の仮定に反する）

　以上より、連続する２つの整数は、「１」以外の因数（公約数）をもたない。

No.7 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2016/03/24 13:03

感覚的な説明です。

１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２・・・・・と連続した数字が並んでいます。
ここで２の倍数（偶数）に着目すると、１個おきに並んでいます。
同様に３の倍数に着目すると、２個おきに並んでいます。
４の倍数は３個おき、５の倍数は４個おきにならんでいます。
当たり前のことです。

が、そうであれば隣り合った数が共通した２以上の整数の倍数になるわけがありません。

No.6 回答者： uen_sap 回答日時： 2016/03/23 14:43

２つの数の共通約数は２つの数の差の約数でもあります。

そく、連続する２つの数の差は1ですから、１以外の約数はありません。
1は約数とは言いませんから、約数無し。

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/03/22 18:18

連続する2つの整数のうち、片方は奇数で、もう片方は偶数です。

従って、偶奇で最も小さい素数である2と3の最大公約数は1です。

ある奇数x=y+1=2z+1とします。(y、zは整数)
いかなる偶数に対して割り切れないことを簡単に示せます。

x=2z+1≡1(mod 2z)
2zは任意の偶数を表すため、任意の偶数で割ったときの余りが1の場合、割り切れない。

従って片方が奇数、片方が偶数である連続する2数は互いに素である。

No.3 回答者： funoe 回答日時： 2016/03/22 11:50

ｍがＡとＢの公約数ってことは、

Aがｍで割れて、かつ、Ｂもｍで割れるってことで、だから（Ａ－Ｂ）もｍで割れる。

--
いま、Ａ－Ｂが１のとき（ＡとＢが連続する整数）、1がｍで割れることになる。

ほら、ｍ（ＡとＢの公約数）が2以上だと変でしょ。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/03/22 11:46

ユークリッドの互除法から、

GCD(a,b)=GCD(a,|a-b|)
となります。
|a-b|=1のとき
GCD(a,1)=1
ですので
GCD(a,b)=1
となります。

No.1 回答者： zircon3 回答日時： 2016/03/22 10:50

差が2以上ではなく常に1だから。