一様連続性

y=1/xが(0,1)で一様連続でないことの説明として(0,1)はコンパクトではないからという記述があったのですが、

コンパクトな距離空間の距離空間への連続写像は一様連続ですが、上の説明はどういう風に考えているのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/25 19:22

で、それをやってみると...

所与の正数 a, E に対して |1/x - 1/a| < E となる x の範囲は、
不等式を同値変形して、(1 - aE)/a < 1/x < (1 + aE)/a.
E が十分小さいならば、a/(1 + aE) < x < a/(1 - aE) より
-(a^2)E/(1 + aE) < x - a < (a^2)E/(1 - aE).
区間 |x - a| < D がこの中に入るためには
D ≦ (a^2)E/(1 + aE) でなくてはならない。
これを満たす正数 D が a 非異存に存在することが一様連続だが、
lim[a→+0](a^2)E/(1 + aE) = 0 であるため、そうできない。
よって、1/x は (0,1) で一様連続ではない。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/03/04 19:40

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/25 14:55

その記述は、一様連続であることの証明じゃなくて、

1/x は (0,1) で連続だけど、(0,1) がコンパクトじゃないから
一様連続じゃなくてもハイネ・カントールの定理に反しないからね
っていう.ダメ出しというか、雑談なのでしょう。

だって、定義域がコンパクトじゃないと一様連続でないなら、
[0,1] で連続な関数の定義域を (0,1) に制限したら
一様でなくなってしまうからね。そんなわけないでしょ。

1/x の連続が x=0 の近傍で一様でないことは、
やはり ε-δ で示さないとあかんと思います。