位相空間論ってどんな内容の分野ですか?

あと、多分関係あると思うんですけど、「ユークリッド空間」っていうのは中学・高校のときから慣れ親しんでる空間の事ですか?
他にどんな空間があるんですか?

こちらは大学1年なりたて程度の知識しかないので易しい言葉で説明してください。

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A 回答 (4件)

j_euro ふたたびです。



なかなか興味深い内容になってきてますね。
勉強になります。(って回答者がホンネ言ってどうする)

>例えばdがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とするとd≦Md’の定数Mの値っていくつになるんでしょう?

んと、(x1, y1) と (x2, y2) の2点の距離でいくと、|x1-x2|=|y1-y2| のときのd=Md’じゃないでしょか。
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この回答へのお礼

だんだん分かってきました。
dがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とすると、2次元の場合、点X(x1, y1) と 点Y(x2, y2) について考えると
    d(x,y) = sqrt( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 )    …(i)
    d'(x,y) = max{|x1-x2|,|y1-y2|}    …(ii)
ここでd(x,y) = r (rは定数)と固定して考えると、
    x2 - x1 = r cosθ
    y2 - y1 = r sinθ
と出来て、
    r / √2 ≦ max{|r cosθ|,|r sinθ|} ≦ r
よって
    d(x,y) / √2 ≦ d'(x,y) ≦ d(x,y)
書きかえると
    d(x,y) ≦ √2 d'(x,y)
    d'(x,y) ≦ d(x,y)
これが距離dと距離d'が同値である事の例であり、
> Q4.「dとd'が同値とは常にd≦Md'」とありますが、日本語で「dとd'が同値」と「d'とdが同値」は同じですよね?という事はdとd'を入れ替えても成り立つ訳で、「dとd'が同値とはある定数M,M'があって、つねにd≦Md'かつd'≦M'd」って事になる気がしますがおかしいですか?
に対する答えですね。

こうなってくると他にどんな距離があってユークリッド距離と同値なのかどうかも調べてみたいし、
なぜ「d≦Md'のときd'≦M'd」と言えるのか(これが言えないと同値の定義が出来ませんよね?)も気になりますし、
興味は尽きない所ですが、個人的な事情によりあまりここばかりに執着してるわけに行かないので
尻切れトンボの感は否めませんが、この辺りで閉じさせていただこうと思います。

ご回答下さった皆様、ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/28 13:56

A1.位相空間論⊃位相幾何学?



この包含関係は理屈の上では間違ってはいないかもしれませんが、
数学をやってきた人の感覚では、かなり違うもののように
思います。
位相幾何学はほとんどの場合多様体を対象にしていて、
幾何学的なイメージがありますが(といっても高次元では
イメージングが大変ですが)、
位相空間論はもっと抽象的な空間、図形的イメージがほとんど
ないような、場合によっては奇妙な空間(集合)が対象のようです。
他の大学は知りませんが、私の通っていた大学では位相空間論を
専門に研究しているゼミはありませんでしたし、位相空間論を極める
のはマイナーな感じがします。ブルバキの数学原論に位相空間論
が載っていましたが、全然面白くなかったです。

A2.「位相」ってなんですか?三角関数でθとθ+2nπは位相が同じ
とか言いますが、関係ありますか?

これは物理学者が言う位相で、英語でphase。数学者の位相は
topologyです。全く関係がありません。

A3.距離dで収束するとは?

すみません、忘れました。なにぶん10数年前のことなもので。

A4.dとd’が同値とは?

taropooのおっしゃるのが正解と思います。ただd≦Md’から逆が
導けたのかな?これも忘れました(_ _)。

この回答への補足

Q3の答えは多分分かりました。距離と一言に言ってもユークリッド距離とかマンハッタン距離とかあって、
ユークリッド距離で考えて収束するとか、マンハッタン距離で考えて収束するとか、そう言うのを「距離dで収束する」と表現するのかなと思いました。
そう考えるとQ4の意味も分かってくるので。

> A4.dとd’が同値とは?
>
> taropooのおっしゃるのが正解と思います。

とすると、例えばdがユークリッド距離でd'がマンハッタン距離とするとd≦Md’の定数Mの値っていくつになるんでしょう?

補足日時:2001/06/27 15:06
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j_euroさんがおっしゃってるのは、(代数的)位相幾何学Algebraic Topologyで、


位相空間論はGenaral Topologyです。
位相幾何学は位相空間(多様体)の分類を目的にしたもので、
ホモロジー群、ホモトピー群などを分類のための手段に用います。
位相空間論は位相幾何学や解析学を学ぶための知識として必要なものです。
ハイネ・ボレルの被覆定理(コンパクト性)などは解析学にも使いますから。

私も10数年前数学科に入り、位相空間論は鍛えられました。
これがわかってないと他の数学の理解もできないし、
またこの位相空間論が数学科1回生にとって一番とっつきにくい
「曲者」ですが、逆にこれが理解できれば他の代数、解析などは
何のことはないという感じです。

> で、結局「位相空間論」=「トポロジー」なんですか?
に対する答えは、トポロジーを位相幾何学と解釈すると、
上記の説明の通り少し違います。

1950~60年代、数学の世界ではAlgebraic Topologyが全盛で、
フィールズ賞受賞者といえば、ほとんどがこの分野からでした。
しかし70年代以降、代数幾何学Algebraic Geometryが頭角を現し、
フィールズ賞受賞者はこちらの方が増えました。
日本のフィールズ賞受賞者の3人、小平邦彦、広中平祐、森氏(フルネームを
失念しました)はすべて代数幾何学の分野です。フェルマの最終定理を
解いたワイルズ氏もこの分野です。ちなみに数学を代数、解析、幾何と
3分類した時、代数幾何学は代数の分野です。

話が脱線してきたので、この辺で。

この回答への補足

Q1.位相空間論⊃位相幾何学 ってことですか?

それと、下にも書きました別質問でのoodaikoさんのご回答の中に

> もっと一般の位相空間論では、「同値な距離による位相は同値である」ということがいえます。
> つまり距離dとd'が同値なら、距離dで収束する点列はd'でも収束し、逆も言えるということです。
> なお、距離dとd'が同値であると言うのは、ある定数Mがあって、常にd≦Md' となると言う意味です。

という記述があるのですが、まず
Q2.「位相」ってなんですか?三角関数でθとθ+2nπは位相が同じとか言いますが、関係ありますか?
Q3.「距離dで収束する」ってどう言う事ですか?言葉の意味が分かりません。「点列a_nがbへ収束する」とかなら分かるのですが。
Q4.「dとd'が同値とは常にd≦Md'」とありますが、日本語で「dとd'が同値」と「d'とdが同値」は同じですよね?という事はdとd'を入れ替えても成り立つ訳で、「dとd'が同値とはある定数M,M'があって、つねにd≦Md'かつd'≦M'd」って事になる気がしますがおかしいですか?

補足日時:2001/06/24 22:27
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「位相空間論」で検索すると、だいたいわかると思うんですが・・・


好きな人にはおもしろいです。

 トポロジってのがあって、一言でいうなら、「しわを伸ばして、ゴムみたく縮める」ということだと考えています。
僕はその辺(位相幾何とか)が好きなんで、ちょっと書きますね。

(1)線って、ゴムみたいなものだと縮んだら短い線になる。でも円は、縮んでも円のまま。
8の字は、円が2個なので、線や点、閉曲線とは違う。

(2)紙って、うらと表がありますね。新聞紙も名刺も切手も縮んだらサイズは関係なくなって、「裏と表」ということだけになる。三角の紙も、四角の紙も同じ仲間。
丸めても、伸ばしても「うらと表がある2次元もの」で、同じです。

(3)メビウスの環は、裏と表がくっついています。これは紙(2次元)を3次元の世界で扱ったためにできる技なのです。3次元と4次元では、クラインの壷ってのがそれにあたります。

なんかとりとめなくなってきました。
このへんで・・・

「ユークリッド空間」や「他の空間」については、また今度・・(あるのか?)

では、

この回答への補足

「位相空間論」で出てくるたった1件の質問が、この質問のきっかけです。
つまり、私のした質問「続、2変数関数の極限」に対するご回答の中に位相空間論という言葉が出てきて、
聞いた事はあるけど中身は知らなかったのと、その質問の中で位相空間論について聞いてしまうとそっちの質問の方が混乱状態になりそうでしたので別質問にしました。

トポロジーってのも聞いた事はあって、伸ばしたり縮めたり曲げたりして同じに出来るものは同じとみなすみたいな学問ですよね?
クラインの壷なんて高校の時「数学セミナー」でしってはまりましたね。ちょっと数学オタクでしたから。

で、結局「位相空間論」=「トポロジー」なんですか?

参考URL:「続、2変数関数の極限」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93778

補足日時:2001/06/24 12:59
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>以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
>とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

いや・・そうじゃなくって・・・
アフィン空間にはベクトル空間が付随するのです.
その付随したベクトル空間に計量が入ることは
十分ありえるわけで,そのときには
「アフィン空間に計量が入る」というわけ.
ある空間に演算が定義される場合,
その演算について閉じていないと,
つまり,空間の点どうしの演算の結果がやはりその空間の点に
なってないとだめなのです.
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もっと定義を大事にしましょう.
定義をみて「ふーーん」で終わらせてませんか?
自分で例を作ったりしてないですよね

>以前別の方から頂いた回答で、アフィン空間も計量を持つことは出来る
>とありましたので、加法やスカラー倍は存在すると思っていました。

いや・・そうじゃなくって・・・
アフィン空間にはベクトル空間が付随するのです.
その付随したベクトル空間に計量が入ることは
十分ありえるわけで,そのときには
「アフィン空間に計量が入る」というわけ.
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ある事は理解できています。
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ほとんど同意なので含まれると考えています。

ユークリッド変換の数学的な定義は調べたのですがわかりませんでした。
ユークリッド変換の数学的な定義を以下のように教えて頂けませんか?

ちなみに、

線形変換の定義は、
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アフィン変換の定義は、
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f(ax+by)=af(x)+bf(y)が成り立たちかつ全単射であるもの。


よく私たちが生活している空間を3次元ユークリッド空間などと呼んだりしますが、
これはなぜでしょうか?ユークリッド空間では、回転と鏡映(対称移動)、平行移動が
定義された空間で私たちが生活している空間とは無関係な気がします・・・
私たちが生活している空間には、~空間といったような名称があるのですか?


長々と失礼しました。
質問を整理させて頂きます。以下に質問順に番号をふりました。
(1)直交変換とはなんでしょうか?
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以上、ご回答よろしくお願い致します。

ユークリッド空間とはユークリッド変換の対象となる空間であると認識
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ユークリッド変換は、回転、鏡映、平行移動です。

ユークリッド変換は、直交変換+平行移動と説明されたりしますが、
直交変換とはなんでしょうか?直交行列と関係あるのでしょうか?
直交行列は、ある行列Aの転置行列がAの逆行列と等しい行列で
ある事は理解できています。
回転行列は直交行列の一つだと認識しています。
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Aベストアンサー

ユークリッド空間とは、ユークリッド距離が定義された線形空間のことです。
距離、ノルム、内積は相互に派生しあいますから、
ユークリッド内積が定義された線形空間と言ってもよいです。
一般に、内積が定義された線形空間をヒルベルト空間と言います。
ユークリッド空間は、ヒルベルト空間の実例のひとつです。
ユークリッド変換という言い方はあまりしないように思うのですが、
おそらく合同変換のことを意図しているのでしょう。
合同変換とは、変換の前後で二点間の距離が変わらない変換のことです。
合同変換でかつ線形変換でもあるものを、直交変換と呼びます。
直交変換+平行移動 というのは、直交変換U平行移動 ということではなく、
直交変換して更に平行移動もする という意味です。
もちろん、その直交変換または平行移動が無変換(恒等写像)なものも含みます。
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上記の定義から解かるように、ある変換が合同変換か否かを判定するためには、
定義域である線形空間が単なる線形空間ではダメで、距離が定義されていないと
(ヒルベルト空間でないと)いけません。ユークリッド空間であれば ok です。
ユークリッド空間上には、合同変換でないアフィン変換(線形変換+平行移動)を
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以上を踏まえて、
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(2) やまほどある
(3) 前述

(4) は、数学ではなく、物理学の話題です。
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古典的には、デカルト・ニュートン以来、現実の空間を三次元ユークリッド空間で近似する
ことが標準的に行われてきましたが、
アインシュタイン以降は、時空を四次元非線型空間で近似することも行われています。
近年は、もっと別の数学モデルもいろいろ提案されています。
いづれにせよ、どれが正しいかということではなく、どれで近似するか
という違いに過ぎません。現実は現実、数学は数学です。

ユークリッド空間とは、ユークリッド距離が定義された線形空間のことです。
距離、ノルム、内積は相互に派生しあいますから、
ユークリッド内積が定義された線形空間と言ってもよいです。
一般に、内積が定義された線形空間をヒルベルト空間と言います。
ユークリッド空間は、ヒルベルト空間の実例のひとつです。
ユークリッド変換という言い方はあまりしないように思うのですが、
おそらく合同変換のことを意図しているのでしょう。
合同変換とは、変換の前後で二点間の距離が変わらない変換のことです。
合同変...続きを読む

Qわざわざナイフからフォークに利き手を持ち替えないと食事出来ない人って、頭悪いの?躾がなってないの?

わざわざナイフからフォークに利き手を持ち替えないと食事出来ない人って、頭悪いの?躾がなってないの?



「俺、右利きだから」とかいう理由でフォークをいちいち右手に持ち替えないと食べられない育ちの悪いクソとは食事したくない。



右利きならナイフが右手、フォークが左手だろ。子どもでも知ってるわ。

それが出来ない成人とか脳腐ってるでしょ?


こんな腐った食事の仕方してる人って親に食事の仕方すら教わってないからこんな気持ち悪いことするんでしょうか?

それとも教わっても理解できないくらいに頭が悪いからなのか?

Aベストアンサー

私はオジサンです。
両親は2人とも地方出身です。イギリスではありません。日本です。
ナイフとフォークを使う食事なんて、した事がないし、必要もなく育ちました。
質問者様とは生きてる世界が違うようですね(笑)。
それとも、わざと炎上させるように挑発的に書いているのでしょうか?
質問者様は、カップ麺って、食べた事ないんでしょうね。
質問者様は、1日の食事代1000円未満なんて、経験ないんでしょうね。
世の中、あなたのような人ばかりではないのですよ。
自身の価値観だけで、相手を否定するのは、テーブルマナーより酷いマナーですよ。

Qn次元ユークリッド空間R^nはハウスドルフ空間であることを示して頂けませんか?

タイトルのままです。

よろしくお願いしますm(__)m

Aベストアンサー

● これでよろしいでしょうか … 。

  x と y を R^n から任意に選んだ 2つ の点とします。そして、これら 2点間 の距離を d とします。さらに、「 x 自身 」と「 x との距離が d より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d) と表わすことにします。同様に、「 y 自身 」と「 y との距離が d より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d) と表わすことにします。
  このとき、B(x; d/2) ∩ B(y; d/2) = φ となります。
  ゆえに、R^n は Hausdorff 空間 となります。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

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将来的な計画などを考えても、自分で良しと思えるならありだと思います。

ただ、生涯賃金にして二倍以上の差がつくと言われている非正規と正規では
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ライフスタイルやワークスタイルは個人が選んでよいものですから
そういったリスクを考えてもなお、自分に合っている
もしくは、そういったスタイルが良いと思うのであれば
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Q有限距離空間のユークリッド空間への等長埋め込みは可能?

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Aベストアンサー

元の個数が4以上の時、一般には不可能と考えられます。4点ABCDの間の距離が次の様に定められているとします。
 AB=BC=CA=1, AD=BD=CD=11/20
および
 AB=BA, AD=DA など
この4点がある次元のユークリッド空間の中に存在したとします。点Dと各点の距離の2乗の和をl^2 とします。
 l^2 = AD^2 + BD^2 + CD^2
3点ABCは部分空間(平面)を定めます。ユークリッド空間が何次元でもピタゴラスの定理よりl^2 が最小になるのは点DがABCの定める平面上にあるときです。もう不可能であることが分かってきたと思いますが、この後も書いておくと、適当な回転や平行移動という等長変換によりABCDの座標は
 A(-1/2, 0, 0, … )
 B( 1/2, 0, 0, … )
 C( 0, √3/2, 0, … )
 D( x, y, 0, … )
とできます。すると
 l^2 = 3x^2 + 3(y-√3/6)^2 +1
なのでl^2の最小値は1であり、AD=BD=CD=11/20 となるような点は存在しません。

元の個数が4以上の時、一般には不可能と考えられます。4点ABCDの間の距離が次の様に定められているとします。
 AB=BC=CA=1, AD=BD=CD=11/20
および
 AB=BA, AD=DA など
この4点がある次元のユークリッド空間の中に存在したとします。点Dと各点の距離の2乗の和をl^2 とします。
 l^2 = AD^2 + BD^2 + CD^2
3点ABCは部分空間(平面)を定めます。ユークリッド空間が何次元でもピタゴラスの定理よりl^2 が最小になるのは点DがABCの定める平面上にあるときです。もう不可能であることが分かってきたと思います...続きを読む


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