数学Ⅲ 無限級数 この問題の(2)の解き方と答えを教えてください...m(_ _)m

数学Ⅲ 無限級数
この問題の(2)の解き方と答えを教えてください...m(_ _)m

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/13 21:36

下図のように、頂点Ａから底辺ＢＣにひいた垂線の足をＨ、辺ＡＨとＡＢのなす角をθとすれば

ＥＦ＝ＤＧ＝ＤＥ’＋Ｅ’Ｆ’＋Ｆ’Ｇ＝Ｄ’Ｅ’ｔａｎθ＋Ｅ’Ｆ’＋Ｇ’Ｆ’ｔａｎθ
＝Ｅ’Ｆ’ｔａｎθ＋Ｅ’Ｆ’＋Ｅ’Ｆ’ｔａｎθ＝Ｅ’Ｆ’(1+2ｔａｎθ)
ゆえに、Ｅ’Ｆ’＝ＥＦ/(1+2ｔａｎθ)
ゆえに、Ｓ₂/Ｓ₁＝(Ｅ’Ｆ’/ＥＦ)²＝1/(1+2ｔａｎθ)²なのでこれが公比になります。
これと、、ｔａｎθ＝1/√(ａ²－1)と
Ｓ₁＝4/(1+2ｔａｎθ)²（これは2＝ＢＣ＝ＢＥ＋ＥＦ＋ＦＣ＝ＥＦ(1+2ｔａｎθ)からでます。）
と無限等比級数の公式から求める和がでます。

No.1 回答者： karamarimo 回答日時： 2016/11/12 01:07

三角形ABCと三角形ADGは相似なので内接する正方形も同じ相似比だからS1とS2の比は分かりますよね？

S2とS3、S3とS4、...の比も同じであることは明らかです。
つまり等比数列です。
求めるS∞は等比数列の無限級数です。