数学 数学記号について

学校で習った数学記号の使い方がよくわかりません。
以下の記号の使い方は正しいですか？正しくなかったらどう違うか、また正しい記法はどのようなものか示してくれると嬉しいです。

①「aは実数定数」⇔「∃a∈ℝ」
②「Q(x)は実数変数xの2次式」⇔「Q(x)∈x^2,∀x∈ℝ」
③「変数xは複素数」⇔「∀x∈ℂ」

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2017/02/21 14:23

「aは実数定数」 a∈R

「変数xは複素数」x∈C
　或る記号が変数なのか定数なのかは、その記号をどう使うかで決まるに過ぎないんであって、集合論的な（もちろん論理的にも）区別があるわけじゃない。
　たとえば実数変数の方程式
　　x^2=1
の解の集合は
　　{x | x∈R ∧ x^2=1}
であり、この方程式が解を持つ、ということは
　　∃x(x∈R ∧ x^2=1)
と表せる。（もちろん {x | x∈R ∧ x^2=1}≠∅ と書いても良い。）
　また、実数変数、実数係数の恒等式
　　ax+b = x+2
の解となる係数a,bの集合なら、
　　{<a,b> | ∀x(x∈R⇒ ax+b = x+2)}
と書ける。<a,b>は２つの実数を並べたもの（順序対（じゅんじょつい））を表している。（では順序対の定義は何か、と問えばそれは集合
　　<a,b> = {a, {a,b}}
なのだが、この定義を実際に使う場面はまずない。）

　「Q(x)は（実数係数）実数変数xの2次式」 Q(x)∈{f | f:R→R ∧ f(x) = ax^2+bx+c ∧ a∈R ∧ b∈R ∧ c∈R}
　ここで f:R→R は「fは実数から実数への写像である」ということで、もっと基礎的な表現をすると「fはふたつの実数がなす順序対の集合の部分集合であって、定義域がRであるようなもの」ということ。すなわち
　　f⊂{<x,y> | x∈R∧y∈R} ∧ ∀x(x∈R⇒∃y(<x,y>∈f))
と書ける。（で、f(x)というのは、<x,y>∈fとなるyのうちのどれか、のこと。）

No.1 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/21 11:03

両向きの太い矢印は、（論理的な）同値を表しています。

その意味からすると、すべての使い方は適切ではないということになります。

矢印の右側の意味は、それぞれ次のような意味です。

①　ある実数 a が存在する。
②　Q(x) は、x^2 の元（要素）であり、かつ、すべての x は、実数である。（好意的に読めば、すべての実数に対して、Q(x) は、x^2 の元である、と読むこともできる。）
③　すべての x は、複素数である。

以上のように、矢印の左側とは、まったく意味が違うことが分かると思います。

特に、②は、問題が多いと思います。　x^2 は、一つの項であって、集合ではありません。それなのに、Q(x) が、その集合の元であるといっています。

すべてを記号だけで書こうとするのは、無理があります。ある程度、言葉を補って書くのが普通です。あなたができるだけ記号を用いて書きたいと思ったことは、次のように書くのがよいのではないかと思います。
（これが最善という積りではないし、他の書き方もあると思います。）

①　定数 a in R
②　Q(x) in {ax^2 + bx + c | a, b, c in R , x in R}
③　変数 x in C　

（集合の元を表す記号を出すことができませんので in と書いていますが、分かっていただけると思います。）