対偶

数学の対偶で逆と裏は必ずしも真とはならない。

これは、どういう意味ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： quaizokuland 回答日時： 2017/03/02 05:45

命題ですね。

何かの適性試験なんかでも見ますね。

数字より具体例の方がわかりやすいかも。

男ならば人間である。

この逆は、人間ならば男である。必ずしもそうとは限りませんよね。
この裏は、男でないならば、人間でないとなります。これも、そうとは限りませんよね。

対偶は、人間でないならば、男ではない。これはそうですよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/03/02 09:57

質問の文章を見た時点で、「対偶」の意味を正しく理解できていないことが分かる。

＞数学の対偶で

「対偶」の中に「逆と裏」があると思っていませんか？
「逆」「裏」「対偶」は同等な「どのように対応しているか」という「相互関係」を表すものです。提示された「命題」の対する位置関係を表します。

下記のような図が分かりづらさの原因でしょうか。「対偶」は２つのものが一緒に書かれて「交差」しているように見えますが、２つの「斜め線」は本来別々に書くべきのものです。なので交差などしません。
http://juken-mikata.net/how-to/mathematics/meida …
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/gyaku.htm

ある命題が「真」であるとき、その「裏」と「逆」が真とは限らない。
しかし、その命題の「対偶」は必ず真である。

　これは「いかなる命題であっても、その「対偶」は必ず真である」ということではありません。命題が真なら対偶も真、命題が偽なら対偶も偽、つまり「命題と対偶の真偽が同じ」ということです。

　これに対して、命題の「裏」「逆」は、必ずしも「命題の真偽が同じとは限らない」ということです。（ただし、「必ず異なる」ということでもありませんので要注意）

（例１）命題：「数字８であれば、偶数である」（真）
　　↓
（裏）「数字８でないならば、偶数でない」（偽。２や４も偶数である）
（逆）「偶数であれば、数字８である」（偽。偶数であっても、２も４もありうる）
（対偶）「偶数でないならば、数字８でない」（真）

このうち「逆」に相当する「偶数であれば、数字８である」（偽）を「命題」にしてみると
（例２）命題：「偶数であれば、数字８である」（偽。偶数であっても、２も４もありうる）
　　↓
（裏）「偶数でないならば、数字８でない」（真）
（逆）「数字８であれば、偶数である」（真）
（対偶）「数字８でないならば、偶数でない」（偽。２や４も偶数である）
という相互関係になるのはよいですか？　

　このように、「偽の命題」に対しては、その「対偶」も「偽」になります。つまり「命題」と「対偶」とは、常に「真偽が同じ」になります。
　これに対して、「命題」「対偶」の真偽と、「裏」「逆」の真偽は必ずしも一致しないということです。

「命題」「対偶」の真偽と、「裏」「逆」の真偽が「必ず異なる」ということではありませんの要注意です。たとえば、

（例３）命題：「偶数であれば、２で割り切れる」（真）
　　↓
（裏）「偶数でないならば、２で割り切れない」（真）
（逆）「２で割り切れるなら、偶数である」（真）
（対偶）「２で割り切れないなら、偶数でない」（真）