No.1ベストアンサー
- 回答日時:
命題ですね。
何かの適性試験なんかでも見ますね。数字より具体例の方がわかりやすいかも。
男ならば人間である。
この逆は、人間ならば男である。必ずしもそうとは限りませんよね。
この裏は、男でないならば、人間でないとなります。これも、そうとは限りませんよね。
対偶は、人間でないならば、男ではない。これはそうですよね。
No.2
- 回答日時:
質問の文章を見た時点で、「対偶」の意味を正しく理解できていないことが分かる。
>数学の対偶で
「対偶」の中に「逆と裏」があると思っていませんか?
「逆」「裏」「対偶」は同等な「どのように対応しているか」という「相互関係」を表すものです。提示された「命題」の対する位置関係を表します。
下記のような図が分かりづらさの原因でしょうか。「対偶」は2つのものが一緒に書かれて「交差」しているように見えますが、2つの「斜め線」は本来別々に書くべきのものです。なので交差などしません。
http://juken-mikata.net/how-to/mathematics/meida …
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/gyaku.htm
ある命題が「真」であるとき、その「裏」と「逆」が真とは限らない。
しかし、その命題の「対偶」は必ず真である。
これは「いかなる命題であっても、その「対偶」は必ず真である」ということではありません。命題が真なら対偶も真、命題が偽なら対偶も偽、つまり「命題と対偶の真偽が同じ」ということです。
これに対して、命題の「裏」「逆」は、必ずしも「命題の真偽が同じとは限らない」ということです。(ただし、「必ず異なる」ということでもありませんので要注意)
(例1)命題:「数字8であれば、偶数である」(真)
↓
(裏)「数字8でないならば、偶数でない」(偽。2や4も偶数である)
(逆)「偶数であれば、数字8である」(偽。偶数であっても、2も4もありうる)
(対偶)「偶数でないならば、数字8でない」(真)
このうち「逆」に相当する「偶数であれば、数字8である」(偽)を「命題」にしてみると
(例2)命題:「偶数であれば、数字8である」(偽。偶数であっても、2も4もありうる)
↓
(裏)「偶数でないならば、数字8でない」(真)
(逆)「数字8であれば、偶数である」(真)
(対偶)「数字8でないならば、偶数でない」(偽。2や4も偶数である)
という相互関係になるのはよいですか?
このように、「偽の命題」に対しては、その「対偶」も「偽」になります。つまり「命題」と「対偶」とは、常に「真偽が同じ」になります。
これに対して、「命題」「対偶」の真偽と、「裏」「逆」の真偽は必ずしも一致しないということです。
「命題」「対偶」の真偽と、「裏」「逆」の真偽が「必ず異なる」ということではありませんの要注意です。たとえば、
(例3)命題:「偶数であれば、2で割り切れる」(真)
↓
(裏)「偶数でないならば、2で割り切れない」(真)
(逆)「2で割り切れるなら、偶数である」(真)
(対偶)「2で割り切れないなら、偶数でない」(真)
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