関数方程式の連続性の証明 関数 Ｆ(Ｘ) が、任意のX,Y∈Rに対して、Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(

関数方程式の連続性の証明




関数 Ｆ(Ｘ) が、任意のX,Y∈Rに対して、Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(Ｙ) を満たすとき
関数 Ｆ(Ｘ) が、Ｘ＝０ で連続ならば、任意の実数X'で連続であることを示せ。

という問題です。

ある点で連続であることを示す方法は知っていますが、この場合任意の点なのでどうやって示せばいいかわかりません。
lim[x→x']f(x)=f(x')を示せばいいのでしょうか？

解答とともに教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/08 04:10

＞ lim[x→x']f(x)=f(x')を示せばいいのでしょうか？

そうです。

具体的にやってみれば、

lim[x→x']F(x) = lim[y→0] F(x'+y)　… y=x-x'とおいた
＝ lim[y→0] {F(x')+F(y)}　 … Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(Ｙ) より
= F(x') + lim[y→0] F(y)
= F(x') + F(0) … X=0で連続なので
です。

また、
Ｆ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｆ(Ｘ)＋Ｆ(Ｙ)
で、X=Y=0を代入してみれば、
F(0) = 2×F(0)
ですから、
F(0) = 0
です。
というわけで、
lim[x→x']F(x) = F(x')
が成り立ちます。

この回答へのお礼

ありがとうございました、理解できました！

お礼日時：2017/06/08 17:13