おしえてください！

おしえてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/02 15:09

まずは、少し書き出してみる。

　a1=6, b1=1
　a2=6 + 3*1 = 9, b2=2*6 + 2*1 = 14
　a3=9 + 3*14 = 51, b3=2*9 + 2*14 = 46
　a4=51 + 3*46 = 189, b4=2*51 + 2*46 = 194

{a(n) - b(n)} = c(n) と書くと
c(n+1)
= a(n+1) - b(n+1)
= [ a(n) + 3b(n) ] - [ 2a(n) + 2b(n) ]
= -a(n) + b(n)
= -[ a(n) - b(n) ]
a2 - b2 = 9 - 14 = -5
a1 - b1 = 6 - 1 = 5
なので、
　n =1 のとき　c(n) = 5
　n ≧ 2 に対して　c(n) = {a(n) - b(n)} = -a(n-1) + b(n-1) = -c(n-1)　
よって
　c(n) = 5 * (-1)^(n - 1)

(2) {2a(n) + 3b(n)} = d(n) と書くと
d(n+1)
= 2a(n+1) + 3b(n+1) = 2[ a(n) + 3b(n) ] + 3[ 2a(n) + 2b(n) ]
= 8a(n) + 12b(n)
= 4[ 2a(n) + 3b(n) ]
= 4d(n)
d(2) = 2*9 + 3*14 = 60
d(1) = 2*6 + 3*1 = 15
なので
　n=1 のとき　d(n) = 15
　n≧2 のとき　d(n) = 4[ 2a(n) + 3b(n) ] = 4d(n-1)
よって
　d(n) = 15 * 4^(n - 1)
　
(3) 上の(1)(2)の結果を使って
　3c(n) + d(n) = 5a(n)
よって
　a(n) = (3/5)c(n) + (1/5)d(n) = 3 * (-1)^(n - 1) + 3 * 4^(n - 1)
　　　 = 3 * [ 4^(n - 1) + (-1)^(n - 1) ]

（検算）n=1 のとき a(1) = 6, n=2 のとき a(2) = 9, n=3 のとき a(3) = 51
なので合っているようです。

同様に
　d(n) - 2c(n) = 5b(n)
より
　b(n) = -(2/5)c(n) + (1/5)d(n) = -2 * (-1)^(n - 1) + 3 * 4^(n - 1)
　　　 = 2 * (-1)^n + 3 * 4^(n - 1)

（検算）n=1 のとき b(1) = 1, n=2 のとき b(2) = 14, n=3 のとき b(3) = 46
なので合っているようです。