数学Aの参考書に、「対偶による証明法も一種の背理法と考えられる。」と書いてあるのですが、意味がよ

Question

数学Aの参考書に、

「対偶による証明法も一種の背理法と考えられる。」

と書いてあるのですが、意味がよく分からないです。

解説をお願いします。

gootarohanako · Accepted Answer

「Aが成り立つとき、Bが成り立つ」という命題を証明するために、結論部分である「Bが成り立つ」を否定して、「Aが成り立つとき、Bは成り立たない」を示そうとすると、条件部分である「Aが成り立つ」に矛盾することを示すのが背理法の証明です。一方、対偶による証明法とは、
A　⇒　B　（つまり「Aが成り立つなら、Bが成り立つ」
と
B^　⇒　A^　（つまり、Bが成り立たないなら、Aは成り立たない）
とが同値であること利用して、前者の命題を証明するのに後者の命題を証明することです。ここで、B^は前者の命題の結論部分の否定であり、A^は前者の前提（条件部分）の否定ですから、前者命題の結論部分を否定すると、前者命題の前提（条件）部分は成り立たないことを述べているので、結局背理法と同じことをしていることになります。
例として、２つの三角形、XとYを考え、「XとYの２角が等しいなら、XとYは相似である」という命題を考えてみましょう。背理法でこれを証明するためには、前提部分はそのままにして、結論部分を否定し、「XとYは相似でない」としてみる。そうすると、前提部分の「XとYの2角が等しい」に矛盾する結果を得れば、命題の背理法による証明が成立したことになります。一方、対偶による証明は、「XとYが相似でないなら、XとYの2角は等しくない」を証明することです。これらが、同じ証明法だということが分かるでしょう。

rabbit_cat · Answer

＞対偶による証明法も一種の背理法と考えられる。

参考書のこの記述は、相当に誤解を招くおかしな表現だと思います。
もし、「一種の」とかいう微妙な（いわゆる逃げ）表現がついてなければ、確実に間違いと言い切れます。


A ⇒ B
を示す代わりに、
¬B ⇒ ¬A を示すのが対偶の証明です。
A ∧ ¬B が空集合であることを示すのが背理法です。

数学Aの参考書に、 「対偶による証明法も一種の背理法と考えられる。」 と書いてあるのですが、意味がよ

＞対偶による証明法も一種の背理法と考えられる。

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