【算数（数学）】中心角と弧の長さの関係

【中心角の大きさが弧の長さに比例する理由】をわかりやすく説明して頂けないでしょうか？


よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： 細筆 回答日時： 2018/01/08 14:15

数学を学ぶ上で公式や定理、図形等の性質、用語の意味を把握することは大事。

・比例…伴って変わる二つの変数のうち、一方が2倍、3倍、4倍…となるとき、他方も2倍、3倍、4倍…と変化する関係のこと。

・弧の長さの公式
半径をr、中心角をa、弧の長さをlとすると、

l = 2πr × a/360

説明を簡単にするために、とりあえずr=180を代入してみる。
l
= 2πr × a/360
= 2π × 180 × a/360
= πa
r=180を代入・整理した結果、l = πa となった。
a=1度のとき、l =π
a=2度のとき、l =2π
a=3度のとき、l =3π
…
これで弧の長さ l が中心角の大きさ a に比例することが示された。

補足1
円周角の大きさも弧の長さに比例する。なぜなら、円周角の大きさは常に中心角の半分であるところ、中心角の大きさは弧の長さに比例するからである。
補足2
おうぎ形の面積も中心角の大きさに比例する
・おうぎ形の面積の公式
S = πr^2 × a/360
説明略。

この回答へのお礼

細筆様

ご回答いただき、どうもありがとうございました。

お礼日時：2018/01/08 15:26

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/08 14:03

円の中心角を a° とします。

円の「弧の長さ」の全体は円周ですね。

中心角 a° の弧の長さは、(円周)×a/360 ですから、
(円周)/360 を比例定数と見ると a の１次関数になります。
ですから、弧の長さは、中心角に比例します。

この回答へのお礼

kairou様

ご回答いただき、どうもありがとうございました。

お礼日時：2018/01/08 15:59

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/08 13:44

比例：片方が2倍になれば、もう一方も2倍になり、

片方がn倍になれば、もう一方もn倍になる関係。

半径1の円を考える

中心角1°の場合、弧の長さは2π×1/360
中心角n°の場合、弧の長さは2π×n/360

中心角をn倍にしたら、弧の長さもn倍になった。
{ (2π×1/360)×n=2π×n/360}

だから、中心角の大きさが弧の長さに比例する。

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端的に書くと
弧の長さ=2π×n/360=(π/180)n：比例定数=π/180