特殊な置換積分で①√(a^2-x^2)②1/√(x^2+a^2)で不定積分に応用できないのは？

特殊な置換積分をするタイプで以下の①②があり、不定積分の可否についてお尋ねします。

①√(a^2-x^2)はasinΘとおけ。←http://examist.jp/mathematics/integration/tokusy …
②1/√(x^2+a^2)はatanΘとおけ。←http://examist.jp/mathematics/integration/tokusy …

上記参照先のサイトによると、「両者とも(高校範囲では)不定積分を求めることができない」とあります。

しかし、②のケースは参照先にもあるように不定積分が(cosΘ)^2/a^2と求められる(ように見受けられます)。
一方、①のケースは|cosΘ|の絶対値を外す場合に、範囲指定が必要であり「(高校範囲では)不定積分を求めることができない」というのは正しいかな？とも思われます。

教えていただきたい点は
(A)「②のケースは不定積分が求められる」という判断であってますでしょうか？
(B)「①のケースで不定積分を求められないのは、|cosΘ|の絶対値を外す場合に、範囲指定が必要であるからである」という判断であってますでしょうか？

上記について、お分かりの方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.1 ベストアンサー 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/03/01 14:10

置換している時点でもはや不定積分ではありません。

不定積分というのは微分の逆演算ですから変数を変換した時点で不可逆な加工をしてしまっています。

xをθの式で表して置換した結果不定積分ができたとしてもそれは変数がθの関数であり、そのθをxの式で置き換えられない限りxの関数として不定積分できたことにはなりません。もしそれができるのならそもそも置換する必要はないのです。

複雑な図形の面積を求めるのに切り刻んで単純な図形の部品に分けてから合計して元の図形の面積を求める手法を小学校の算数で学んだと思いますが、置換積分というのはそれを式で表現したものに過ぎず、定積分だからこそなせる技なのです。

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

>xをθの式で表して置換した結果不定積分ができたとしてもそれは変数がθの関数であり、そのθをxの式で置き換えられない限りxの関数として不定積分できたことにはなりません。

確かに、その通りですね(汗)
見かけの形に惑わされておりました。。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2018/03/03 08:19

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/06 22:39

「asinΘとおけ」や「atanΘとおけ」ですかい。

x=sinθとx=tanθ じゃなくて？ それに、置換積分が定積分専用という説は耳慣れない。
　さておき、ま、高校生ではarcsinhなんてシランかもシレン。しかしarcsinもシランかな？　どっちも、知ってれば逆関数の微分法を使って検算できるんだから、不可能とまで言うのはビミョーかも。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/03 23:38

その矢印がなにを意味しているのかわからないんだけどなぁ....

あ, 下の方は置換を工夫すれば不定積分が求まるよ. 参考にしているサイトにもあるけど.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/01 16:11

まずは表現を正確にしよう. 「√(a^2-x^2)はasinΘとおけ。

」とか「1/√(x^2+a^2)はatanΘとおけ。」とは, どのような意味なのですか? まさか「√(a^2-x^2)」全体を「asinΘ」とおく, とかいうことではないはずですよね.

さておき #1 でも書かれていますが, 不定積分をするなら変数をもとに戻す必要があります. 元の式には現れない「Θ」などというものを使っておいて「不定積分が求まる」と言ってはいけないのです.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

＞#1 でも書かれていますが, 不定積分をするなら変数をもとに戻す必要があります. 元の式には現れない「Θ」などというものを使っておいて「不定積分が求まる」と言ってはいけないのです.

たしかに、ご指摘の通りですね。。

よって、
(A)「②のケースは不定積分が求められる」という判断であってますでしょうか？→『元の式には現れない「Θ」などというものを使っており、「不定積分が求まる」わけではない。』
(B)「①のケースで不定積分を求められないのは、|cosΘ|の絶対値を外す場合に、範囲指定が必要であるからである」という判断であってますでしょうか？→「範囲指定が必要であるから」ということではなくて、『元の式には現れない「Θ」などというものを使っており、「不定積分が求まる」わけではない。』
と判断しました。

今後とも、よろしくお願いします。

お礼日時：2018/03/03 08:24