No.1ベストアンサー
- 回答日時:
意味って、ふつうに計算すればそうなるでしょう?
x - a = (x - μ) + (μ - a)
ですから
(x - a)^2 = (x - μ)^2 + 2(x - μ)(μ - a) + (μ - a)^2
= (x - μ)^2 + 2(μx - ax - μ^2 + μa) + (μ - a)^2
期待値の加法性 E[x + y] = E[x] + E[y] より
E[(x - a)^2] = E[(x - μ)^2] + 2E[μx] - 2E[ax] - 2E[μ^2] + 2E[μa] + E[(μ - a)^2] ①
ここで、分散の定義より
Var[x] = E[(x - μ)^2]
また、それぞれ
2E[μx] = 2μE[x] = 2μ^2 ←x の期待値(平均値)は μ
2E[ax] = 2aE[x] = 2aμ ←x の期待値(平均値)は μ
2E[μ^2] = 2μ^2 ←定数 μ^2 の期待値(平均値)は μ^2
2E[μa] = 2μa ←定数 μa の期待値(平均値)は μa
E[(μ - a)^2] = (μ - a)^2 ←定数 (μ - a)^2 の期待値(平均値)は (μ - a)^2
なので、これらを①に代入すれば
E[(x - a)^2] = Var[x] + 2μ^2 - 2aμ - 2μ^2 + 2μa + (μ - a)^2
= Var[x] + (μ - a)^2
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