どう思う？

期待値と分散の問題です。ある確率変数Xの期待値が9、分散が4である。このときY=2X+3と定義される

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質問者：kamiyasiro
質問日時：2018/05/29 20:16
回答数：2件

この問題において、分散は16となる、ということですが、どうも分散の加法性により８になるとした私の回答が間違いであるのような印象を持たれているのが、気になってしかたありません。
この問題は、次のように定義し直さないとおかしいです。
『ある確率変数Xは期待値が９、分散が４である。今、そこから採取されるサンプルxから計算されるy＝2x＋3 のyが従う分布Yの分散を求めよ。』

このように定義した場合は、独立とか独立でないとかの問題ではなく、単純累積公差の問題になります。同じものを繰り返し利用した場合に該当します。例えば、巻き線用の細線はボビン毎にXという分布に従いますが、同じボビンに巻かれている細線は同一径を持ちます。このときのコイルの径は単純累積公差になります。
このときは、σ＝２、単純累積公差は２＋２＝４、分散はこの２乗であるので１６。

では、質問をします。
あるクラスの生徒の身長は、期待値が９、分散が４である。このとき、任意の２名を選んで身長を足したとき、その和の分散を求めよ。
同じ分布から採取したので、共分散を考慮する必要がありますか。

このときは、σ＝２、単純累積公差は２＋２＝４、分散はこの２乗であるので１６。

訂正します。

前問のケースでは、σ＝２、単純累積公差は２＋２＝４、分散はこの２乗であるので１６。

補足日時：2018/05/29 23:29
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回答 (2件)

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No.1ベストアンサー

回答者： Tacosan
回答日時：2018/05/30 11:32

どんな場合でも, 共分散を考慮すれば必ず正しい値が得られるのでは?

『ある確率変数Xは期待値が９、分散が４である。今、そこから採取されるサンプルxから計算されるy＝2x＋3 のyが従う分布Yの分散を求めよ。』
のように定義しなおさないとなにがどう「おかしい」のかはわからんけど.

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

「どんな場合でも」の真意が理解できました。

・もし、分布の重畳が、スカラー倍のように、完全に同じものを重ねる場合は相関r＝１なので、
COV／(σ1・σ2)＝r＝１が成立する。今、σ1＝σ2＝２なので、COV＝４
Vo＝V1＋V2＋２･COVなので、それぞれ代入するとVo＝16。

・もし、分布の重畳が、例えばクラスの生徒の身長で、机の隣同志を足しなさい。ただし、机にはおおよそ身長順に座っていて、隣同士の相関は0.5とすると、
COV／(σ1・σ2)＝r＝0.5。今、σ1＝σ2＝２とすると、COV＝２
Vo＝V1＋V2＋２･COVに、それぞれ代入するとVo＝１２。

・そして、もしサンプルがランダムに採取されているなら、同じ群内からであっても、相関は0。
当然このときは、COVは0なので、分布の重畳において分散の加法性が成立する。
Vo＝V1＋V2＝８。

・私の間違いは、頭から独立と決めつけていたことです。工業分野にいると、抜取試験や管理図は全て１群から独立してサンプル採取することが大前提になっているので、上記のような相関を持つケースを見失っていました。

どうもありがとうございました。

補足ですが、確率分布のスカラー倍のときは、それを明示するように、２Xの２の下にアンダーバーが欲しいです。これは、業界毎に違うのですね。