確率の問題です

問題：さいころを３回振った時の目の和の期待値と分散を求めよ。
　　　※さいころの目は均等とする。

期待値は、1回振った場合：(1+2+3+4+5+6)* 1/6 = 21/6
　　　　　　　　なので 21/6 * 3で 7/6と解けました。
　　ですが、分散が求まりません。
　　分かる人がいれば、計算方法を添えて教えてください。
　　よろしくお願いします。

No.5 回答者： gogo314 回答日時： 2007/09/13 09:02

＃3です。

リロードを怠って＃2さんの投稿に気づかずに、失礼をいたしました。

私の投稿は統計の標本分散について書いてしまいましたので、
本題である確立論の分散については、他の方の投稿を参考になさってください。

No.4 回答者： tarame 回答日時： 2007/09/13 08:33

＞期待値は、1回振った場合：(1+2+3+4+5+6)* 1/6 = 21/6

＞なので(21/6)*3＝7/6と解けました。
Ｅ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｅ(Ｘ)＋Ｅ(Ｙ)を利用したのですよね！

分散では、ＸとＹが独立であるとき、Ｖ(Ｘ＋Ｙ)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(Ｙ)が成り立ちます！
さいころを３回振ったとき、k回目に出た目をＸk とすると
目の和Ｘは　Ｘ＝Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3 であり、Ｘ1,Ｘ2,Ｘ3は独立だから
Ｖ(Ｘ)＝Ｖ(Ｘ1)＋Ｖ(Ｘ2)＋Ｖ(Ｘ3)　として計算します！

No.3 回答者： gogo314 回答日時： 2007/09/13 08:20

分散は、

計測などで得られたデータがどの程度ばらついているかを示す値で、

　　分散＝{(毎回のデータ－全データの平均値)^2}の総和 ÷ データ個数

で求められます。
なので、実際サイコロを振ってみないと、解けません。

振ってみたデータが、3、4、3ならば
　　平均値は(3+4+3)/3＝3.3
　　分散は、{(3-3.3)^2＋(4-3.3)^2＋(3-3.3)^2}/3＝(0.09＋1.69＋0.09)/3＝0.62

振ってみたデータが、1、6、1ならば
　　平均値は(1+6+1)/3＝2.7
　　分散は、{(1-2.7)^2＋(6-2.7)^2＋(1-2.7)^2}/3＝(2.89＋10.89＋2.89)/3＝5.56

になります。(平均値は概算です。)

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/09/13 08:19

yuoiejkalさん、こんにちは。

まず、基礎的なことから復習してみます。
サイコロの目をnとして、nが出る確率をp(n) とすると、

まず1回ふったときの期待値は、
　<n> = Σ_{n=1}^6 n p(n) … (1)
分散は、
　<(n-<n>)^2> = Σ_{n=1}^6 (n-<n>)^2 p(n) … (2)
で計算します。
（<…>は…の期待値を表わす。_は下付き、^は上付きを表わす。）

(2)は、定数cについて<cn>=c<n>として良いことを使うと、
　<(n-<n>)^2> = <n^2 - 2<n>n + <n>^2> = <n^2> -2<n><n> + <n>^2
　　= <n^2> - <n>^2
となります。つまり分散を計算するには2乗の平均<n^2>を計算すればよいわけです。
　<n> = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6
　<n^2> = (1 + 2^2 + 3^2 +4^2 + 5^2 + 6^2)(1/6) = 91/6
より、
　<(n-<n>)^2> = 91/6 - (21/6)^2 = 105/6^2 = 35/12 … (3)
が得られます。


さて、3回ふったときの期待値は、i回目の目をniとすると、

　<n1+n2+n3> = Σ_{n1=1}^6 Σ_{n2=1}^6 Σ_{n3=1}^6 (n1+n2+n3) p(n1) p(n2) p(n3)

となりますが、Σ_{ni=1}^6 p(ni) = 1 が成立つので、

　<n1+n2+n3> = Σ_{n1=1}^6 n1 p(n1) Σ_{n2=1}^6 p(n2) Σ_{n3=1}^6 p(n3) ×3
　　　　　　 = <n1>・1・1×3 = 3<n> … (4)

になります。×3にしたのは、<n1>=<n2>=<n3>=<n> だからです。（n1などはどうせ和をとるときに、n1=1～6を代入するので、n1でもn2でもn3でもnでも同じ結果になる。）
(4)はご質問文の期待値の求め方で、(21/6)×3 = 21/2 となります。

次に、分散は、

　<[(n1+n2+n3) - <n1+n2+n3>]^2> = <[(n1-<n1>) + (n2-<n2>) + (n3-<n3>)]^2>
　= <(n1-<n1>)^2> + <(n2-<n2>)^2> + <(n3-<n3>)^2>
　　+ 2 <(n1-<n1>)(n2-<n2>)> + 2 <(n2-<n2>)(n3-<n3>)> + 2 <(n3-<n3>)(n1-<n1>)>
　　… (5)

となりますが、<(n1-<n1>)(n2-<n2>)> みたいな項は、

　<(n1-<n1>)(n2-<n2>)> = <(n1-<n1>)>・<(n2-<n2>)>

というふうに、n1とn2の期待値を分けてしまって構いません。（期待値の定義から示すことができます。）ところが、<(n1-<n1>)> = <n1> - <n1> = 0 より、このタイプの項は全部0になります。

また、n1,n2,n3が和をとるときの変数であることに注意すれば、

　<(n1-<n1>)^2> = <(n2-<n2>)^2> = <(n3-<n3>)^2> = <(n-<n>)^2>

となるので、(5)は、

　<[(n1+n2+n3) - <n1+n2+n3>]^2> = 3 <(n-<n>)^2> … (6)

となります。つまり1回ふったときの分散の3倍にすればよいわけです。

したがって、分散は(3)より、35/12×3 = 35/4 になります。


計算違い等ありましたらすみません。

No.1 回答者： abyss-sym 回答日時： 2007/09/13 08:14

分散についてはわかりませんが、期待値に誤りがあるので書いときます。

３,18・・・1/216
４,17・・・3/216
５,16・・・6/216
６,15・・・10/216
７,14・・・15/216
８,13・・・21/216
９,12・・・25/216
10,11・・・27/216
というふうになっているので、これから期待値を求めると21/2になりますよ。

＞期待値は、1回振った場合：(1+2+3+4+5+6)* 1/6 = 21/6
　　　　　　　　なので 21/6 * 3で 7/6と解けました。

おそらく、(21/6)*3=21/2 の間違いではないかと思います。