No.1ベストアンサー
- 回答日時:
確率を求める問題では,考えている事象についての説明を“確率を求めやすいように”言い換えることが重要です.
今回の問題であれば,問題文では
「この操作を…(略)…白球が4個ある」
と言っていますが,これは要するに,
「赤球が1個・白球が2個取り出される場合が1回だけあり,それ以外の(n-1)回では白球が3個取り出される」
ということですよね.
こう言い換えることで確率が求められるようになるわけです.
さて,この確率を求めましょう.
まず,赤球が1個・白球が2個取り出される確率は
(赤球の選び方の総数)×(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
= C(3,1)×C(3,2) / C(6,3)
= 9/20
ですね.
次に,白球が3個取り出される確率は,
(a)
赤球1個・白球2個が取り出される前では
(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
= C(3,3) / C(6,3)
= 1/20,
(b)
赤球1個・白球2個が取り出された後では
(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
= C(3,4) / C(6,3)
= 4/20,
ですね.(赤球1個・白球2個が取り出された前後で確率が変わることに注意しましょう.)
したがって,「k回目の操作で赤球1個・白球2個が取り出され,それ以外の(n-1)回では白球が3個取り出される」という事象の確率が
[白球が3個取り出される確率(赤球取り出し前)]^(k-1)
× (赤球が1個・白球が2個取り出される確率)
× [白球が3個取り出される確率(赤球取り出し後)]^(n-k)
= (1/20)^(k-1) (9/20) (4/20)^(n-k)
となり,問題の確率が
∑_{k=1}^{n} (1/20)^(k-1) (9/20) (4/20)^(n-k)
= 9 (4/20)^n × ∑_{k=1}^{n} (1/4)^k
= 9 (1/5)^n ((1/4) (1 - (1/4)^n) / (1 - 1/4))
= 3 ((1 / 5^n) - (1 / 20^n))
と求まることになります.
No.2
- 回答日時:
回答No.1への補足&訂正です.
C(n,k) は
異なる n 個のものの中から k 個を選ぶ方法の数
を表しています.
あと,途中に出てくる C(3,4) は C(4,3) の間違いです.
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