この問題教えてください！高校数学

この問題教えてください！高校数学

No.1 ベストアンサー 回答者： fef 回答日時： 2018/08/02 16:43

確率を求める問題では，考えている事象についての説明を“確率を求めやすいように”言い換えることが重要です．

今回の問題であれば，問題文では
　「この操作を…(略)…白球が4個ある」
と言っていますが，これは要するに，
　「赤球が1個・白球が2個取り出される場合が1回だけあり，それ以外の(n-1)回では白球が3個取り出される」
ということですよね．
こう言い換えることで確率が求められるようになるわけです．

さて，この確率を求めましょう．
まず，赤球が1個・白球が2個取り出される確率は
　(赤球の選び方の総数)×(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
　= C(3,1)×C(3,2) / C(6,3)
　= 9/20
ですね．
次に，白球が3個取り出される確率は，
　(a)
　　赤球1個・白球2個が取り出される前では
　　　(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
　　　= C(3,3) / C(6,3)
　　　= 1/20,
　(b)
　　赤球1個・白球2個が取り出された後では
　　　(白球の選び方の総数) / (取り出し方の総数)
　　　= C(3,4) / C(6,3)
　　　= 4/20,
ですね．（赤球1個・白球2個が取り出された前後で確率が変わることに注意しましょう．）
したがって，「k回目の操作で赤球1個・白球2個が取り出され，それ以外の(n-1)回では白球が3個取り出される」という事象の確率が
　[白球が3個取り出される確率（赤球取り出し前）]^(k-1)
　　× (赤球が1個・白球が2個取り出される確率)
　　× [白球が3個取り出される確率（赤球取り出し後）]^(n-k)
　= (1/20)^(k-1) (9/20) (4/20)^(n-k)
となり，問題の確率が
　∑_{k=1}^{n} (1/20)^(k-1) (9/20) (4/20)^(n-k)
　= 9 (4/20)^n × ∑_{k=1}^{n} (1/4)^k
　= 9 (1/5)^n ((1/4) (1 - (1/4)^n) / (1 - 1/4))
　= 3 ((1 / 5^n) - (1 / 20^n))
と求まることになります．

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2018/08/05 21:25

No.2 回答者： fef 回答日時： 2018/08/02 16:58

回答No.1への補足＆訂正です．

C(n,k) は
　異なる n 個のものの中から k 個を選ぶ方法の数
を表しています．

あと，途中に出てくる C(3,4) は C(4,3) の間違いです．