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No.8ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
1/4を支持しない理由として
Aの確率を1/4とするなら、残りにすべてのスペードがある確立(Aがスペードでない確率)は3/4であるはずです。(Aがスペードではない確率)
1/4が独立しているならば、その後どんなカードの引き方をしても変わらないですよね?
では、極端な例
Bでスペードを4枚ではなく、13枚カードを見てスペードを抜き出します。
その時のAがスペードではなかったら条件が成立するのでAがスペードである確率は「0」です。
12枚しか抜き出すことができなかったらAの確立は「1」ですよね。
成立しない条件は例示するに値しないのなら
Bでスペードを12枚引き出します。残りのスペードは1枚なので成立します。
この時もAは1/4ならAを引いた残りにスペードがすべてある確立は3/4であるはずですが、すでに12枚開示しているので残り1枚です。
起こりうる事象が1なのに分子が3ってことはありえないです。
Bで12枚開けたのがスペードの1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13で、5がなかったらこの設問は「Aがスペードである確率」を「Aがスペードの5である確率」と読み替えられませんか?
よって、Aの1/4である独立性はないと言えると思います。
素人の思い込みかもです。反論、指摘歓迎しますのでご意見お願いします。
CC_Tさんのご意見ですが、1/4支持だと思いますが、#5ではスペードがハズレの説明で良く判りませんし、1/4が正解であると決め付けていて(その点が問題なのに)詳しい解説が述べられていません。
また、#7での極端な例 及び おまけの問題でも最初の確率を独立していると間違いのような例示となっていて論旨が理解出来ません。
出来ましたら判りやすい説明お願いします。
質問者の
>後から選んだ4枚のカードすべてがスペードになる確率は変わると思うのですが。
のご意見から、
「Aのみの確率」ではなく、「B かつ A」を聞かれてるのかもですね。どっちとも取れる設問だと思います。
> では、極端な例
> Bでスペードを4枚ではなく、13枚カードを見てスペードを抜き出します。
> その時のAがスペードではなかったら条件が成立するのでAがスペードである確率は「0」です。
そうです。もし4枚でなく、もっとたくさんのカードを引いた場合に、スペードが全部見えた場合、最初のカードはスペードにならないのでは?と思ったのです。
それが後から引いた4枚のカードで最初の伏せカードの確率が変わるのではないか、と思った発端です。
No.7
- 回答日時:
#5です。
#6回答に示された通り、出題をどう捉えるかで答えが変わります。
私は#5回答では(A)は(B)とは独立した事象と判断して1/4と回答をしましたが、(B)の結果をフィードバックして(A)がスペードである確率を再計算するのなら、3/16が正しいです。
52枚から5枚のカードを選ぶとして、
・1枚選んだ段階で「1枚目がスペードである確率」・・・1/4
・5枚選んだ段階で「5枚全部がスペードである確率」・・・33/6664
・5枚中2~5枚目がスペードと確認した上で「のこり1枚がスペードである確率」・・・3/16
これらは、全て1枚目がスペードであるかどうかに関係した計算ではありますが、計算結果の数値はすべて異なりますね。ちなみに「2~4枚目がスペードである確率」に依存するのは2の計算のみで、1,3にはその確率は関係ありません。
もひとつ、N0.5の補足について
> (2)出題者が残りのカードから4枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。
は、出題者がカードの中からスペードを4枚出す、という文意でした。
出題者が無作為に選んだ結果で「4枚がスペード」でも、柄を見ながら「スペードを4枚選んで」も、4枚のスペードが示されるという結果は同じ。偶然スペード4枚でも必然スペード4枚でも、なんら組み合わせが変わるわけではないのでその後の確率計算に影響はありません。
~~~
極端な例で考えてみてはどうでしょうか。
白黒いずれかのカードが入った封筒が4つあり、白2つ、黒2つの組み合わせであることは分かっている。
最初に1つの封筒Aを選び、もう一つ別の封筒Bを選ぶ。
最初にAを開く場合、Aが白である確率は当然、1/2。
でも最初にBを開封してBが白であれば、Aが白である確率は1/3となります。見えていないカードが3枚で、白はそのうち1つしか残っていないのですから。
最初にBを開封してBが黒であれば、Aが白である確率は2/3ですね。
~~~
おまけの問題。
上の封筒4つを使ったゲームをします。
選んだAB2つの中に白が含まれなかった場合は罰ゲームです。
2枚を選び、1枚目のAが白の確率は・・・1/2(未開封4つの内の2つ)。
では、2枚目のBが白である確率は・・・これも1/2(未開封4つの内の2つ)。
で、選んだ2枚のうち「いずれかが白」である確率は1枚目が白の確率1/2と2枚目が白の確率1/2の足し算ですから、1/2+1/2=1で100%。このゲームは負けっこないですねg(^^)。
・・・あれ?2枚とも黒って可能性もあるはずなのに、どこへいったの?
さて、上記どこで計算違いしているのでしょうか? 陥りがちな罠です(笑)
No.6
- 回答日時:
質問者が
> これについて、選んだ4枚のカードがすべてスペードである確率を考慮しなくてもよいのでしょうか。
と疑問に思っていることからして,質問者は「後から得た情報によって確率は変化する」と考えているようです。
これを我々は主観確率と呼んでいて,
ある事象が起きると言うこことの信念の度合いをあらわす
ものです。そうすると後から情報を得れば,当然のようにそのことに対する確信は大きくなったり,小さくなったりするわけです。
#5の人や,多分#1の人も,事後の情報は確率に影響しないと考えています。
この問題は#4の人が言っているように,事後確率(条件付き確率)を計算せよという問題としてとらえることを意図しているのでしょうから,問題の答えとしては3/16を採用すべきでしょう。
> この問題は#4の人が言っているように,事後確率(条件付き確率)を計算せよという問題としてとらえることを意図しているのでしょうから,問題の答えとしては3/16を採用すべきでしょう。
難しく?言うと、そういうことです。
解説ありがとうございます。
No.5
- 回答日時:
最初に引いているのですから、1/4。
似たようなものに、もう一度選べるならどうする?ってのがありますね。
(1)スペード以外を引くと「当たり」で、選択者がまず1枚引く(まだ見ない)。
(2)出題者が残りのカードから4枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。
(3)さて、ここでファイナルチョイス。選択者は最初に引いた1枚が何であるかを見ずに山に戻し、もう一度48枚のカードから選び直すことが出来ます。
さぁ、選び直す方か、最初のままか、どっちが当たりやすいでしょうか?
・・・確率で考えると、選び直す方が当たる可能性が高いです。
すでに「外れ」が4枚取り除かれているのですから。
つまり、最初に選んだ1枚が当たりである確率は3/4
選び直す場合は、13/16(39/48)ですから、ちょっと当たる確率が高いんですね。
これを踏まえると、ご質問の「(A)のまだ伏せられているカードがスペードである確率」ってのは、最初に1枚もさらされていない状態での選択ですから、1/4と見るのが正しいでしょう。
この回答への補足
ちょっとよくわかりませんが、似たようなもののほうで、
> (2)出題者が残りのカードから4枚だし、それらが全てスペードであると示して見せる。
これについて、選んだ4枚のカードがすべてスペードである確率を考慮しなくてもよいのでしょうか。
最初に選んだカードがスペードだった場合と、スペードではなかった場合で、
後から選んだ4枚のカードすべてがスペードになる確率は変わると思うのですが。
元の質問のほうで、直感的には1/4よりも小さくなる気がしますが、
具体的な数値は他の回答も参考に、今計算しているところです。
似たようなものというのはモンティホール問題でしょうか。
あれは出題者が最初からはずれカードを知っているから抜き取ったカードが全部外れになるだけであり、今回のように無作為に選んだらはずれ以外が選択されることもあると思います。
No.4
- 回答日時:
よく質問される「条件付き確率」です。
数学の確率論通りにやると次のようになります。
C:52枚から1枚引いてスペードである
D:52枚から1枚引いた後、残り51枚から4枚引いてすべてスペードである
という2つの事象を考えます。求めたいのは次の確率です。
P(C|D)=P(C∩D)/P(D):Dが起こったとき、Cの起こる確率
これは条件付き確率の定義です。
まずP(D)について。
(1)最初スペードを引く。残り51枚(スペードは12枚)から4枚のスペードを引く。
(2)最初スペード以外を引く。残り51枚(スペードは13枚)から4枚のスペードを引く。
∴P(D)=P((1)∪(2))=(13×12C4+39×13C4)/(52×51C4)
=(13/52)(12C4/51C4)+(39/52)(13C4/51C4)
次にP(C∩D)について
P(C∩D)=(13×12C4)/(52×51C4)
=(13/52)(12C4/51C4)
よって、
P(C|D)=P(C∩D)/P(D)
={(13/52)(12C4/51C4)}/{(13/52)(12C4/51C4)+(39/52)(13C4/51C4)}
=(13×12C4)/(13×12C4+39×13C4)
=(13・12・11・10・9/4!)/(13・12・11・10・9/4!+39・13・12・11・10/4!)
=9/(9+39)=9/48=3/16(答)
約分を繰り返して9/48が得られていますが、これに
「表にした4枚がスペードと分かったので、残り48枚には9枚のスペードがある。48枚のうちのどれかが伏せられた1枚であるので、それが9枚のスペードのどれか1枚である確率」
という解釈を付けることができます。
No.2
- 回答日時:
数学の専門ではありませんが・・・
スペードの残りが13-4で9、開けてないカードが52-4で48なので「9/48」ではないでしょうか。
確かに、「開けた5枚目にスペードを引く確立」及び「1枚目だけ引いた確立」は開ける前でしたら1/4ですが、設問は違いますし、その後すでに開けて明らかになった部分は確率の計算から除外する必要があるとおもいます。
また、この場合「5枚連続してスペードを引く確立」はあくまで開ける前の違う計算になりますので考慮する必要は無いと思います。
間違いあったらゴメンネェェεεε・゜・≡≡(* ノωノ)
こういうの考えるのは楽しいです
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