三角形の内角の和が１８０度であることの証明方法

教科書で、三角形の内角の和が１８０度であることを証明するとき
「ある三角形ABCについて、BCと平行な、Aと接する直線DEをひく。錯覚より角DAB＝角CBA、角EAC＝角BCAである。角A＋角DAB＋角EAC＝１８０度なので、三角形の内角の和は１８０度である」
とあるのですが、なぜある三角形の内角の和が１８０度で示したら全ての三角形の内角の和が１８０度であると証明できるのか理解できません

No.7 回答者： horita 回答日時： 2018/08/13 11:25

三角形の三つの角度は、わかっていませんね。

つまり、一つ一つの角度は、何度でもいいのです。
その三つの角の和が180度ですから、どんな三角形でも和が180度になるといえます。

No.6 回答者： kowadasintarou 回答日時： 2018/08/09 11:35

質問文の「」の文に従い、作図にすることをお勧め。

その上で議論したほうがわかりやすい。ある三角形ABCというのはどんな三角形でもよいから適当に不等辺三角形を思い浮かべて作図すると、今少し簡単に解ける問題でしょう。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/08/08 13:13

No.3補足。

ユークリッド幾何の第5公準から直ちに導き出される定理が「3角形の内角の和は180°」。
だから、これは定理です。

第5公準
1直線が2直線に交わり、同じ側の内角の和を2直角より小さくすると、2直線を限りなく延長すると、2直線は2直角より小さい側で交わる。


第5公準が無いと、180°とは言えなくなるのですが、第5公準が無くても以下の定理が成立します。

「1個の3角形の内角の和が180°ならば、全ての三角形は内角の和が180°になる。」
これは、サッケーリ・ルジャンドルの第2定理と言います。

サッケーリ・ルジャンドルの第1定理と併せて検索して研鑽して下さい。
あなたの疑問は解消されます。

第1定理：3角形の内角の和は180°以下である。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/08/08 11:25

三角形の内角の和が１８０度であることは幾何学でそう定義したためで、定義を証明することはできません。

例えば１＋１＝２はそのように定義されているからです。
ある三角形とは、任意の三角形のことで全ての三角形を意味します。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/08/08 07:42

これは、数学では、根本を突いた良い質問内容なんですよ。

今、下図の左上の黄色3角形1個のみが「内角の和が180°」と証明されたとします。
他の全ての3角形については未だ不明です。

証明された黄色3角形を任意に分割します。
直線は180°だから、分割された2個の3角形の内角の和は180°にならざるを得ません。

これを繰り返し使うと、上右図の3個の3角形については、内角の和が180°。

さらに、頂点を変え、繰り返し使うと、黄色3角形内部に出来る3角形は全て内角の和が180°になります。
細かい技術は省略。

次に黄色3角形より大きな3角形を考えます。
下図の様に積み上げると、大きな3角形が出来上がり、内角の和は180°です。
（黄色3角形の頂点1個が大きい3角形の頂点になってるから・・・）

これを繰り返すと、幾らでも大きな3角形が出来ます。
これらの3角形に対して、一番上の作図を適用すると、どの様な大きさの3角形でも、その3角形を分割して内部に出来る3角形は、「内角の和が180°」が示されます。

これらの操作を繰り返す事で、黄色3角形1個のみ「内角の和が180°」が示されれば、任意の3角形は、黄色3角形の拡大・分割によって作図が可能になります。

よって、任意の3角形は「内角の和が180°」と証明出来ます。

No.2 回答者： サワイ 回答日時： 2018/08/08 05:15

平行な直線に交わる直線によってできる錯角を利用する証明ですよね。

三角形が、どんな三角形であっても、この平行な直線をひくことはできますし、また、三角形には３つ角があることから、錯角ができることも、証明の手順も自明です。

ある三角形について証明できれば、全ての三角形について、当てはまるのも自明ですが、それは「平行線」や「錯角」「三角形」という言葉の定義を信じてるからかもしれません。

しかし、逆に言えば、これらの言葉の定義を疑えば、数学の全ての証明は意味がなくなる気がします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/08 03:53

その「ある三角形」にどのような条件も付いていないので, どんな三角形をもってきてもいい.