数学 200という数について、正の約数の個数と、その総和を求めろ。 という問題があるのですが、求め方

数学
200という数について、正の約数の個数と、その総和を求めろ。
という問題があるのですが、求め方を教えてください

No.3 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/08/21 10:23

総和は

(2^0+2^1+2^2+2^3)*(5^0+5^1+5^2)
で計算できます。
上式を展開するとわかるように「2^m * 5^n 」をm=0〜3、n=0〜2の全ての(m, n)の組み合わせについて足し合わせたものになっています。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/21 10:23

200=2³x5²なので

200=(2^a)x(5^b)・・・①とすると
200の約数は①で
a=0,1,2,3,
b=0,1,2とした場合（例a=2b=1とすると200の約数の1つである２０となる。)
aの数値の選び方が０から３の4通り
ｂの数値の選び方が０から２の3通りあるから
a,bの選び方の総数は4x3=12通り
そのいずれもが、200の互いにことなる約数となるから
200の約数は12こ・・・答え

また、
(1+2+2²+2³)(1+5+5²)・・・②を展開した項1つ1つは
200の約数になっているから、求めるべき200の約数12個の総和は②の計算結果と同じになる
よって
総和=(1+2+2²+2³)(1+5+5²)
=15x31
=465・・・答え

（200の約数の1つが200だから、総和が200を超えることは明らか
no1の答え総和＝46は一目不正解です）

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/08/21 09:56

２００を素数のべき数で素因数分解します。

２００＝２³＊５²
約数は２³で（２⁰＋２¹＋２²＋２³）の４個
　　　５²で（５⁰＋５¹＋５²）の３個
総数は４ｘ３＝１２個です。
総和は（２⁰＋２¹＋２²＋２³＋５⁰＋５¹＋５²）＝４６です。