相加・相乗平均とは結局なにが言いたいのですか また、どのような場面で使うのが便利なのですか

相加・相乗平均とは結局なにが言いたいのですか
また、どのような場面で使うのが便利なのですか

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/11/21 12:19

数学的には、掛けると定数になる式の和の形になっている関数の最小値を求める問題に使います。

例題
f(x)=√(1+x²) +1/√(1+x²)
の最小値を求めよ。
f(x)=2{√(1+x²) +1/√(1+x²)}/2
≧2 √{√(1+x²)・1/√(1+x²)}
=2
等号成立条件は
√(1+x²)=1/√(1+x²)
1+x²=1
x=0
となり
f(x)は x=0 のとき 最小値 2 を採る。

微分して計算すると大変ですが、このようにすると簡単です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/21 00:41

No.1です。

少し補足。

現在のGDPが10兆円の国の年間の経済成長率が 8% の場合、このまま10年間経つと、GDPはどうなるか。

8% × 10年 = 80% 成長で、
　10兆円 → 18兆円
ですか？
違いますね。
この計算だと、「毎年 8千万円（現在のGDPの8%）ずつGDPが増える」ということです。「毎年 8千万円」を足し合わせていく（加え合わせていく＝相加）ということです。
この「毎年 8千万円」というのが「相加平均」です。
上の例題の場合には「相加平均」では意味がありません。「足し合わせ」ではなく「倍々ゲーム」で増えていくのですから。

毎年8%ずつ増えていくので
1年後には　10兆円 × 1.08 = 10.8兆円
その1年後（通算2年後）には　10.8兆円 × 1.08 = 11.664兆円
その1年後（通算3年後）には　11.664兆円 × 1.08 = 12.59712兆円
　・・・
と増えていって、10年後には
　10兆円 × (1.08)^10 = 21.5892･･･ ≒ 21.59兆円
になります。
この計算では、「毎年の8%ずつGDPが増える」ということです。「毎年 1.08倍」をかけ合わせていく（かけ合わせていく＝相乗）ということです。
この「毎年 1.08倍」というのが「相乗平均」です。

違いが分かりますか？
どのような場合にどちらを使うべきか、その意味を考えれば明確ですよね？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/11/20 23:17

相加平均とは、「直線的」「一次関数的」に変化しているものの平均。

まあ、ふつうの意味の平均です。
（例）初任給が20万円で、10年後に 30万円になった。平均の毎年の給料の増加額は？
　　・初年度：20万円、10年後：30万円
　　　その差額は 40万円 - 30万円 = 10万円
　　　よって、平均の毎年の給料の増加額は 10万円/10年 = 1万円/年

相加平均とは、「累積的」「指数関数的」に変化しているものの平均。
（例）初任給が20万円で、10年後に 40万円になった。平均の毎年の給料の増加率は？
　　・初年度：20万円、10年後：30万円
　　　その比率は 40万円/30万円 = 4/3
　　　よって、平均の毎年の給料の増加率は (4/3)^(1/10) = 1.029186･･･
　　　つまり、平均で 2.9% の増加率ということです。（初年度は 20万円 * 2.9% ≒ 5800円しか給料が増えませんが、同じ率で昇給していけば10年後には 40万円になります）

この違い、分かりますか？
「物価上昇率」とか「経済成長率」とか「人口増加率」とか「借金の複利での膨れ上がり方」などは、相乗平均で見ないといけませんよね。