教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

4問どうしたら良いのかわかりません。
教えてください。

できれば回答だけでなく何故そうなるのか教えて欲しいです。

「4問どうしたら良いのかわかりません。 教」の質問画像
gooドクター

A 回答 (4件)

(1)底の変換公式で、底を4に変換すれば


1/log[4]0.3,1/log[4]2,1/log[4]3
log[4]0.3<log[4]2<log[4]3だから
1/log[4]0.3>1/log[4]2>1/log[4]3

log[0.3]4<log[2]4<log[3]4

(2)底の変換公式で、底を0.5に変換すれば
1/log[0.5]0.3,1/log[0.5]2,1/log[0.5]3
log[0.5]0.3>log[0.5]2>log[0.5]3
底が1より小さいので上の3つの対数はマイナスの値だから
1/log[0.5]0.3>1/log[0.5]2>1/log[0.5]3

log[0.3]0.5>log[2]0.5>log[3]0.5

(3)
2log[2]3,3log[4]3

log[2]3^2,log[4]3^3
log[2]9,log[4]27
log[2]9,log[2]27/log[2]4(底の変換公式)

log[2]9,log[2]27/2
log[2]9,log[2]27^(1/2)
log[2]81^(1/2),log[2]27^(1/2)
log[2]81^(1/2)>log[2]27^(1/2)
2log[2]3>3log[4]3

(4)
いっぺんに比べるのではなく、2こ、取り出して比べます
log[4]9,1.5
log[4]9,1.5log[4]4
log[4]9,log[4]4^1.5
log[4]9,log[4](2^2)^1.5
log[4]9,log[4]2^3
log[4]9>log[4]8

log[9]25,1.5
log[9]25,1.5log[9]9
log[9]25,log[9]9^1.5
log[9]25,log[9](3^2)^1.5
log[9]25,log[9]3^3
log[9]25<log[9]27

2つの結果から
log[4]9>1.5>log[9]25
です。
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https://ja.m.wikipedia.org/wiki/対数
対数の性質は知っているのが前提でしょう!
1) 底の変換式から
log【0.3】4=log4/log0.3 ……(1)
log【2】4=log4/log2 ………(2)
log【3】4=log4/log3 ………(3)
分子は同じ値だから、分母において、真数は対数値に比例するが、逆数だから反比例関係だから、ただし、log0.3=log3/10=log3ーlog【10】10=log3ー1<0より
log【2】4>log【3】4>log【0.3】4

2)も同様に
log【0.3】0.5=log0.5/log0.3 ……(4)
log【2】0.5=log0.5/log2
log【3】0.5=log0.5/log3
(4)は、分子も同じく、また、log0.5=log5/10=log5ー1<0より
分母は、1) と同じ考えで、
1/log2>1/log3 >1/log0.3 だが、分子が負なので、逆になるので、
log【0.3】0.5 >log【3】0.5>log【2】0.5

3) は簡単!
3log【4】3=3log【2】3/log【2】4=3log【2】3/log【2】2^2
=3log【2】3/2=(3/2)log【2】3<2log【2】3
∴ 2log【2】3>3log【4】3

4) この問題は、1.5を対数で表すことがポイント!つまり
1.5=1.5・log【4】4=log【4】4^1.5=log【4】4・√4=log【4】4・2=log【4】8

1.5=1.5・log【9】9=log【9】9^1.5=log【9】9・√9=log【9】27 よって

log【4】9> log【4】8= 1.5 =log【9】27 >log【9】25 で間違いなし!
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対数の基本を理解していませんね?


まずは
 y = A^x  ①  (「^x」は「x乗」を表わします。上付き小文字が表示できないので)
があるとき、x を表わすのに
 x = log[A](y)  ②  ([A] は「底」を表わします。下付き小文字が表示できないので)
と書くのです。

「そういう書き方にしますよ」というだけのことです。
①と②は「同じこと」を表わします。

このように、慣れるまでは、対数②を、もとの①に形に書いてイメージを作ってください。慣れてくれば、いちいちそう書かなくとも分かるようになります。

①で、
 A = B^z   ③
とすれば
 y = (B^z)^x = B^(xz)
ですから、これは
 xz = log[B](y)   ④
ということになります。
③から、
 z = log[B](A)   ⑤
ということですから、④⑤より
 x = log[B](y) / z = log[B](y) / log[B](A)   ⑥
ということになります。

②と⑥を見比べれば、②から「対数の底をA→Bに変更する」と⑥のようになることが分かりますね。

問題の (1)~(3) は、対数の「底」が違っていて大きさを比べにくいので、⑥の関係を使って「同じ底」にそろえてみましょう。
「底」としては何でもよいですが、分かりやすい「10 を底とした常用対数」にしましょう。
(常用対数は①で A=10 とした
  y = 10^x  ←→ x = log[10](y) = log(y)
ということです。常用対数の「底」は省略して書くことが多いです)


(1) log[0.3](4) = log(4)/log(0.3)
 ここで、log(0.3) は、a = log(0.3) とおけば
  0.3 = 10^a  
ということです。10^0 = 1 ですから、a<0 です。
log(4) > 0 なので
 log[0.3](4) < 0

log[2](4) = log(4)/log(2)
 ここで、log(2) は、b = log(2) とおけば
  2 = 10^b
ということです。b>0 なので
 0 < log[2](4)

log[3](4) = log(4)/log(3)
 ここで、log(3) は、c = log(3) とおけば
  3 = 10^c
ということです。c>0 なので
 0 < log[3](4)

ここで、2 < 3 ですから
  b < c
になりますよね。分母がこの大きさですから
  log(4)/b > log(4)/c
になりますね。

従って、
  log[0.3](4) ( < 0 ) < log(4)/c = log[3](4) < log(4)/b = log[2](4)
ということになります。


(2) は真数(対数の中の数)が「1より小さい」ので要注意。
 log[0.3](0.5) = log(0.5) / log(0.3) > 0
 log[2](0.5) = log(0.5) / log(2) < 0
 log[3](0.5) = log(0.5) / log(3) < 0
0 < log(2) < log(3) なので | log(0.5) / log(2) | > | log(0.5) / log(3) | であり
 log[2](0.5) < log[3](0.5) < log[0.3](0.5)


(3) 一番上の①で y = p^q とおくと
 p^q = A^x    ⑦
なので
 x = log[A](p^q)   ⑧
一方、⑦は
 p = y^(1/q) = (A^x)^(1/q) = A^(x/q)
なので
 x/q = log[A](p)    ⑨
⑧と⑨より
  log[A](p^q) = q*log[A](p)
となって、対数の中の「べき乗」が対数の「係数」になることが分かります。(これは対数すべてに成り立つ法則)

これを使えば
 2log[2](3) = log[2](3^2) = log[2](9) = log(9) / log(2) = log(3^2) / log(2) = 2log(3) / log(2)
 3log[4](3) = log[4](3^3) = log[4](27) = log(27) / log(4) = log(3^3) / log(2^2) = 3log(3) / 2log(2) = (3/2)log(3) / log(2)
となって、
 (3/2)log(3) / log(2) < 2log(3) / log(2)
ですから
 3log[4](3) < 2log[2](3)
ということが分かります。


(4) 上にあげた法則を使って、
 log[4](9) = log(9) / log(4) = {2log(3)} / {2log(2)} = log(3) / log(2)
同様に
 log[9](25) = log(25) / log(9) = {2log(5)} / {2log(3)} = log(5) / log(3)

大小を比べるために割り算してみれば
 log[4](9) / log[9](25) = [ log(3) / log(2) ] / [ log(5) / log(3) ]
= log(5) / log(2) > 1
よって
 log[9](25) < log[4](9)

1.5 とも大小を比べるために割り算してみれば、
 log[4](9) / 1.5 = { log(3) / log(2) } / (3/2) = 2log(3) / 3log(2)
= log(3^2) / log(2^3) = log(9) / log(8) > 1
よって
 1.5 < log[4](9)

 log[9](25) / 1.5 = { log(5) / log(3) } / (3/2) = 2log(5) / 3log(3)
= log(5^2) / log(3^3) = log(25) / log(27) < 1
よって
 log[9](25) < 1.5

以上より
 log[9](25) < 1.5 < log[4](9)
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(1)log₀.₃4=2log₀.₃2=2/log₂0.3=2/log₂(3/10)=2/(log₂3-log₂10)<0


log₂4=2、log₃4=2log₃2<2から
   log₂4>log₃4>log₀.₃4
(2)log₀.₃0.5=log₀.₃(1/2)=log₀.₃1-log₀.₃2=-log₀.₃2>0
log₂0.5= log₂(1/2)= log₂1- log₂2=-1
log₃(1/2)=log₃1- log₃2=- log₃2<-1から
   log₀.₃0.5> log₃0.5> log₂0.5
(3) 2log₂3=log₂9=1/log₉2<1、3log₄3=log₄27=1/log₂₇4=<<1から
   2log₂3>3log₄3
(4) log₄9=1/log₉4<1、log₉25=1/log₂₅9<<1、1.5>1から
 1.5>log₄9>log₉25
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