(5/8)^nを少数で表すとき、小数第3位に初めて0でない数が現れるような自然数nは何個あるか。 鍵

(5/8)^nを少数で表すとき、小数第3位に初めて0でない数が現れるような自然数nは何個あるか。


鍵カッコの部分までは自力で解いたのですが、
その後の-3≦-0.2040n＜-2 となったのは
どのような考え方ですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/11 11:57

(5/8)^nを少数で表すとき、小数第3位に初めて0でない数が現れるのは。

(5/8)^nを展開して初めてa＊１０⁻³の項が現れる時です(１≦a<10)。
log₁₀(5/8)^n＝log₁₀(a＊１０⁻³）=log₁₀(a)ー3 　(１≦a<10)この時の範囲は
－３≦log₁₀(5/8)^n<－２となるからです。
後は、貴方の計算通りです。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/05/11 11:14

ANo.1です。

誤記を訂正します。
log[10]2≒-0.204 ⇒ log[10](5/8)≒-0.204

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/05/11 11:09

いきなり、底が10の対数を使っていますが、それでは答えにたどり着けません。

その前に問題文にある小数の範囲を明確にする必要があります。

「小数第3位に初めて0でない数が現れる」ということは、2つの意味を持ちます。
(1) 小数第2位までは「0」
(2) 小数第3位まで「0」となる小数は含まれない

(1), (2)を満たす小数の範囲は0.001以上0.01未満になります。
(5/8)^nが(1), (2)を満たす自然数nの個数を求める問題なので、

0.001≦(5/8)^n<0.01
10^(-3)≦(5/8)^n<10^(-2)

となります。

底が10の対数をとると、

log[10](10^(-3))≦log[10]((5/8)^n)<log[10](10^(-2))
-3≦n log[10](5/8)<-2

log[10](5/8)<0なので、

-2/log[10](5/8)<n≦-3/log[10](5/8)

log[10](5/8)を公式を使って展開してもlogが残るため、そのまま近似値を出すと、log[10]2≒-0.204より

9.8<n≦14.7

nは自然数なので、n=10,11,12,13,14の5個。