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ジョルダン標準形を勉強中です。(初学者)
広義固有空間の説明のあと例題で、
次のような問題がありました。
V(α)は広義固有空間、Vαは固有空間を表します。
V0=V(0),V-1=V(-1)はわかりますが、
固有空間V2=<x1>に対して広義固有空間V(2)が<x1,x4-2/3X3+3/2X2>となっている理由がわかりません。
おしえてください。

「広義固有空間」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 2枚目です

    「広義固有空間」の補足画像1
      補足日時:2018/11/28 10:14
  • うーん・・・

    ありがとうございます。
    言われてみればV0⊂V(0),V-1⊂V(-1)ですが、それも何故一致するのかわからなくなってきました。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/11/29 06:54

A 回答 (2件)

まずどの固有値に対しても固有空間は広義固有空間の部分空間で, かつ少なくとも 1次元. 一方項固有空間の次元は固有多項式における指数からわかって, 今の例だと 0 と -1 に対しては 1次元, 2 に対しては 2次元. だから固有値 0 と -1 に対する固有空間は必然的に広義固有空間と一致する.



これに対して固有値 2 に対する固有空間は「最低 1次元」だけど本当に 1次元なのかそれとも 2次元なのかは, ここにあるだけではわからない. それを知りたければ, 固有空間を求める (= 固有ベクトルを求める) とか最小多項式を計算するとかの処理が必要になる.

広義固有空間を求める方法はもちろんある (調べればわかるはず) けど, それは固有ベクトル (= 固有空間) を求めるのとあんまり変わらない. で, この例で例えば固有値 0 に対する固有ベクトルがどのようにすれば求められるのか理解できてるのかなって確認したかったんだよね.
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たぶんそこより前のどこかに「求め方」は書いてあると思うけどねぇ....



ところで V(0) や V(-1) は問題ないのかな?
この回答への補足あり
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画像のように教科書では方向微分係数を定義してあるのですが、
①画像のように、f(x,y)=√(x^2+y^2)sin3θ(x.y)(ただし、θ(x,y)とはOと(x、y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)に対して方向微分が(x、y)=(tcosθ0,tsinθ0)という直線上では、f(x,y)=tsin3θ0となるからあらゆる方向に方向微分可能というのがわかりません。
どのように計算しているのでしょうか?
②また、(0,0)でのx、yでの偏微分係数が0、-1となるのもピンときません。
おしえてください。

Aベストアンサー

f(x,y)=√(x^2+y^2)sin(3θ(x.y))
(ただし、θ(x,y)とはOと(x,y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)
に対して方向微分が(x,y)=(tcos(θ0),tsin(θ0))という直線上では、f(x,y)=tsin(3θ0)となり
t=√(x^2+y^2)だから
θ0方向微分は
lim_{t→+0}{f(x,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3θ0)}/t
=sin(3θ0)
となるからあらゆる方向に方向微分可能である.

(0,0)でのxでの偏微分とはx軸方向微分だからθ0=0だから
f_x(0,0)
=lim_{t→+0}{f(t,0)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(0)}/t
=sin(0)
=0

(0,0)でのyでの偏微分とはy軸正方向微分だから
y軸正方向とx軸正方向となす角は
θ0=π/2だから
f_y(0,0)
=lim_{t→+0}{f(0,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3π/2)}/t
=sin(3π/2)
=-1

t=√(x^2+y^2)
θ0=0とすると
(x,y)=(tcos(0),tsin(0))=(t,0)だから

lim{t→0}{f(x,y)-(-x)}/√(x^2+y^2)
=lim{t→0}{f(t,0)-(-t)}/t
=lim{t→0}{tsin(0)-(-t)}/t
=lim{t→0}t/t
=1
はxに対し無視できる無限小ではない
θ0=0の方向なので
y=tsin(0)=0
だから
「xに対し」としてある

f(x,y)=√(x^2+y^2)sin(3θ(x.y))
(ただし、θ(x,y)とはOと(x,y)とを結ぶ直線とx軸の正方向となす角とする)
に対して方向微分が(x,y)=(tcos(θ0),tsin(θ0))という直線上では、f(x,y)=tsin(3θ0)となり
t=√(x^2+y^2)だから
θ0方向微分は
lim_{t→+0}{f(x,y)-f(0,0)}/t
=lim_{t→+0}{tsin(3θ0)}/t
=sin(3θ0)
となるからあらゆる方向に方向微分可能である.

(0,0)でのxでの偏微分とはx軸方向微分だからθ0=0だから
f_x(0,0)
=lim_{t→+0}{f(t,0)-f(0,0)}/t
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=0

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Q本[素数とゼータ関数]の、リーマンの素数公式

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と表される。
このときx(t)を変数変換することによってAをジョルダン化れば解が直ちに解が求まる。
これを解くときにラプラス変換をして解く場合も有るが
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>重根の場合、もう1つ別の固有関数を見つけてこないといけないので、
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意味不明。

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[0 1 0 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 1]

[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

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>単に特性方程式を解けばいい くらいに思っていました
定係数線形微分方程式はAをnxn行列,Bをnxm行列,x(t)を未知n次元列ベクトル,u(t)を既知m次元列ベクトル
x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
と表される。
このときx(t)を変数変換することによってAをジョルダン化れば解が直ちに解が求まる。
これを解くときにラプラス変換をして解く場合も有るが
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Q0<Q<1のすべての有理数を重複なく網羅する数列(?)について

数学について興味があり、次のような数列を考えました。
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既約分数n/mの次にm/(2m-n)と、(mーn)/(2m-n)の2つの有理数を続けて行けば、
1/2 → 2/3と1/3 → 3/4と1/4 と 3/5と2/5 → ...
という具合に数列(倍々に膨れる数列ですが)が出来て、すべてが既約分数で、
かつ互いに重複がなく、0<Q<1のすべての有理数Qを網羅する様に思います。
当たり前な事なのかもしれませんが、互いに素な2つ自然数の組み合わせが、
割り算などで確認することなく全て得られるのが何だか面白いと思います。
この様な数列(?)はよく知られているのでしょうか?

Aベストアンサー

あまりわからないのに答えて申し訳ありません。
私はその道の人ではないので初めて見ます。

n=1,m=2 として、一次的な列を見ていくと、、、
m/(2m-n) からは、 (1/2),2/3,3/4,4/5... が出てきて、
(m-n)/(2m-n) からは、(1/2),1/3,1/4,1/5...となる。

次に、n=1,m=3 とすると、
m/(2m-n) は、3/5,5/7,7/9,9/11... となり、
(m-n)/(2m-n)  は、2/5,2/7,2/9,2/11...となる。

n=1,m=4 とすると、
4/7,7/10,10/13,...
3/7,3/10,3/13,...

となっていく。
このパターンを見てると、、、篩感はありますね。
(問題はただの数列とは違い、)

mとnがお互いに素であれば、mと2m-n や、m-nと2m-nがお互いに素であることを証明できれば、すべてが「既約分数」であることになります。

すべての有理数が出てくるというのは、有理数n/mを逆向きに計算していき、
どうにかすれば、1/2 にたどり着くということを言えばよいのでしょうけど、
有限のものをふるい落としていくのではなく、無限に分岐していくものなので、
証明されているかや(照明可能かどうかを含め)いまいちわかりません。

ある一定の分母においてすべての有理数が出てくるときとして、
帰納法を使えばできるのかなぁ?

あまりわからないのに答えて申し訳ありません。
私はその道の人ではないので初めて見ます。

n=1,m=2 として、一次的な列を見ていくと、、、
m/(2m-n) からは、 (1/2),2/3,3/4,4/5... が出てきて、
(m-n)/(2m-n) からは、(1/2),1/3,1/4,1/5...となる。

次に、n=1,m=3 とすると、
m/(2m-n) は、3/5,5/7,7/9,9/11... となり、
(m-n)/(2m-n)  は、2/5,2/7,2/9,2/11...となる。

n=1,m=4 とすると、
4/7,7/10,10/13,...
3/7,3/10,3/13,...

となっていく。
このパターンを見てると、、、...続きを読む

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(京大なので複素数じゃないと解き難いという引っ掛けなのかもしれませんが....)

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厳密にいうと線分AB に対して「三角形ABC が正三角形になる」ような C は 2個あるので, 単純に
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数学III 複素数の問題です。

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

答えは(1,7)です。
解説をご教授下さい。


解答を見ても良く理解できませんでした。
考え方込みでご教授頂けると嬉しいです。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

複素数平面を利用して点(5,5)を直線y=2xに関して対称に移動した点の座標を求めよ。

複素数を利用して計算する。
点(5,5)をAとする。複素数を使ってA=5+5iと書く。Aの対称点をCとし、
ACの中点をBとする。
直線y=2xの上の点を一つ取ってDとする。ここではD=(1,2)=1+2iとする。
ODは直線y=2xの方向を示すベクトルである。ODにiをかけると、ODは左回りに90°回転してOEとなる。
E=D×i=(1+2i)×i=-2+i
OEはABおよびACと平行である。AからOEと平行に進めばB、Cに達する。
AにベクトルOEのk倍を足せばBになる。kは適当な定数である。
B=A+kE=(5+5i)+k(-2+i)=5-2k+(5+k)i
Bは直線y=2xの上にあるから、Bのx座標5-2kとy座標5+kは
y=5+k=2(5-2k)
の関係がある。これを解くとk=1となる。
CはAにkEの2倍たせばよいからC=A+2E=(5+5i)+2(-2+i)=1+7i

Qhttp://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/sizensuugaku

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/sizensuugaku2016/lec7.html が元のサイトなのですが、画像に関して質問があります。f(x+dx)=f(x)+f'(x)dxとなるのはわかりますが、なぜg(f(x))の導関数の微小変化もf(x+dx)
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g(f(x+dx))=g(f(x))+ f'(x)dxとなるのでしょうか?
また、一番下の式の右辺はどうやってg'(f(x))f'(x)dxと出来たのでしょうか?
過程の計算を書いて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

間違ってますね。無視しましょう。


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