Aがべき零行列のとき、I－Aは正則行列であることを示せ。 教えてください、お願いします

Aがべき零行列のとき、I－Aは正則行列であることを示せ。

教えてください、お願いします

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/13 08:22

A^n=零行列とすると(nは正の整数)

{I+A+A^2+・・・+A^(n-1)}(I-A)=I
逆行列が存在するので正則

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/13 01:48

A がべき零行列だというのは、A^n = O となるような自然数 n があるということです。

A の固有値,固有ベクトルの一組を r,v とすると、(A^n)v = (r^n)v = Ov = 0 なので、
r = 0。 A は 0 以外の固有値を持ちません。
一方、I-A の固有値は、det(I-A-xI) = 0 の解 x なので A の固有値 r に対して 1-r です。
I-A は 1 以外の固有値を持たないことになります。
det(I-A) は 1-A の固有値の積なので、1 です。 det(I-A) ≠ 0 より I-A は正則。