行列(100 010 02-1) の固有値 固有ベクトルを求め、対角化せよ。 という問題で、固有値は

行列(100
010
02-1)
の固有値 固有ベクトルを求め、対角化せよ。
という問題で、固有値は求められたのですが、固有ベクトルの求め方が分かりません。教えていただけたら幸いです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/08 14:29

行列 A の固有値 λ に対して、Ax=λx を満たす x は一般に

A が作用するベクトル空間の部分空間をなし、その次元は
λ が固有方程式の m 重根であれば m 次元以下です。
x がなす部分空間を、「固有値 λ に属する固有空間」といいます。

固有値 λ が単根であれば、その固有空間は 1次元に決まっているので、
固有空間の方向ベクトルを(定数倍を除いて)一意に挙げられます。
それが、重根でないときの固有ベクトルです。

固有値が重根だと、それに属する固有空間は一意に決まりますが、
そこから固有ベクトルを挙げる方法は一意ではありません。
固有空間の基底をひとくみ、好きに挙げればいいのです。
固有ベクトルの一般解を書いても、それをそのまま使って A が対角化
できるわけではないので、c1, c2 に適当な値を入れて
一次独立な固有ベクトル 2個を見つけましょう。

-1 の固有ベクトルと、1 の一次独立な固有ベクトル 2個を
列ベクトルとして並べた行列を P とすれば、P^-1 A P が対角行列
-1　　　0　　　0
0　　　1　　　0
0　　　0　　　1
になります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/08 14:00

行列 A に対して Ax=λx となるスカラー λ が固有値、ベクトル x が固有ベクトル。

λ が求められたのなら、あとは、地味に Ax=λx を解いて x を求めるだけ。
連立一次方程式です。連立一次方程式は、解りますよね。

質問の行列の固有値が -1, 1, 1 (1は重根) であるのことは求められましたか？
固有値が単根の場合は話が単純ですが、m重根の場合は、固有ベクトルは
部分ベクトル空間をなし、その次元は 1〜m 次元のどれかです。
今回は結果的に、固有値 1 に対する固有ベクトルは 2次元空間になっています。
Ax=λx の一次独立な解 x を 2個見つければよいのですが、できましたか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
この問題の場合、固有値1のとき行列は
(0 -2 -2)
となるのですが、固有ベクトルを
c1(1 c2(0
0 1
0) 1)
と置いたのですがいかがでしょうか？

お礼日時：2019/06/08 14:14