ばね

自然長が10㎝のばねを30㎝にのばして、これが戻るときのばねの力と、自然長が30㎝のばねを10㎝に圧縮して、これが戻るときのばねの力では、ばねの素材が同じで太さも同じとするとどちらのほうが強いんですか？

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/07/16 08:20

あ，誤解があります。

自然長が短いから，この e の定義だとそういう結果になるだけです。あくまでもモデルを正しいとしたときの一つの解釈です。こんなに二倍三倍に変形する力学はとても難しいとされていて，例えば f = k e の伸び e も，対数を使って e = ln (x/L) とする場合もあります。ln は自然対数です。こういう材料（モデル）の場合は，10cmを30cmにすると，f = k ln(3) になりますが，30cmを10cmにしても f=k ln(1/3)= - k ln(3) なので，伸ばす場合も縮める場合も同じ力が必要になります。ご質問者がお持ちの実際のバネがどちらのモデルに近いのかは，その材料で決まりますから，事実を知りたければ実験する以外にはありません。どうか，誤解の無いように。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/07/15 15:50

理想的な弾性材料（力を抜くと元に戻る材料）だと仮定します。

そして厳密な表現は避けて簡単に説明します。
　そのような弾性材料の最も基本的な材料モデルは線形弾性です。線形というのは抵抗特性が一次関数（線形）だということ，つまり伸びに「比例」した抵抗力を内部に生じるもので，その比例の比率 k が定数でモデル化されます。10cmのバネが30cmまで伸ばされる実際の材料がそうなるとは決して言いませんが，ここではそういう材料だとします。すると，バネを押したり引張ったりしたときに内部に生じる抵抗力 f は f = k e という比例関係になります。この e は伸び変形で，元の長さを L として，伸び縮み後の長さを x とすると，e = (x - L)/L = x/L - 1 と定義されます。ここまでも，かなり理想的な材料であることを前提にしていますよ。
　さてこれが正しいとすると，10cmのバネを30cmにするのに必要な力は f_1 = k ( 30/10 - 1 ) = 2k という値になります。つまりこの 2k という抵抗力をバネは発生させるから，その長さにするのに必要な力が 2k ということです。次に，30cmのバネを10cmにするのに必要な力は f_2 = k ( 10/30 - 1 ) = -2k/3 となります。ですから f_2 = -1/3 f_1，つまり上で求めた力の 1/3 の力しか必要としないわけです。プラスマイナスは引張ったか圧縮したかの違いですから無視してください。
　ただし！ご質問文にある「強さ」というのは，この抵抗力とは違うものとして力学の分野では定義します。強さは壊すのに必要な力，逆に言うと，壊れるときの材料の最大の抵抗力です。これは，理想的な材料では，引張っても圧縮しても同じと考える場合が多いですから，バネの元の長さが何であろうと，そしてそれを引張ろうと圧縮しようと，同じ力で壊れます。ですから，もしご質問文の30cmのバネを10cmにしたときに壊れたとすると，10cmの同じ材料でできたバネを16.7cmに伸ばしたとき，f_3 = k( 16.7/10 - 1 ) = 0.67 k > 2k/3 になってしまうので壊れてしまうので，30cmまでは伸ばせないということです。
　もちろん，岩やコンクリートは引張るとすぐに壊れて圧縮には強いですし，その逆の材料も世の中にはたくさんあります。以上はあくまでも理想的な限られた場合の記述です。また，30cmもする細長ぁーーーいバネを20cmも縮めようとすると，単に縮むだけじゃなく，バネの途中がグニャッと曲がるでしょ。そうなると圧縮したときの「強さ」は引張ったときとは違ってきますが，上の回答は，そういった曲がりが生じないようにしてあることを前提にしています。

この回答へのお礼

詳しい回答をありがとうございます。伸ばすよりも縮める方が力が小さくて済むんですね。たしかに30㎝を10㎝に圧縮するのは少し無理があったかもしれません。

お礼日時：2019/07/15 17:56