ランダウの記号 について質問です。 次の公式はいろいろな参考書やサイトで出てきますよね？ 『 o(x

ランダウの記号 について質問です。
次の公式はいろいろな参考書やサイトで出てきますよね？

『 o(x^m)o(x^n) = o(x^(m+n)) 』

これについて疑問を持ったので教えていただきたいです。


例えば、m=1, n=2のとき
f(x)=1+x+o(x)
g(x)=1-x+x^2+o(x^2)

o(x^m)は上式のような多項式の中で使われたとき、(m+1)次以上の項を無視することを表しますよね？

すると、o(x),o(x^2)は例えば次のようになっているとします。(計算上、面倒なので係数は1としています)
o(x)=x^2+x^3+……
o(x^2)=x^3+x^4+……

o(x)o(x^2)=(x^2+x^3+………)(x^3+x^4+………)
=x^5+2(x^6+x^7+………) ①

ここで、公式の結果では、
o(x)o(x^2)=o(x^3)=x^4+x^5+………

となります。つまり、公式ではx^4のオーダーも無視できるほど十分小さいと除外することになりますが、①のように展開してみると除外すべきはx^5のオーダーからだと考えました。つまり、公式の方はx^4も余分に除外してしまっていている気がするのですがどうなのでしょうか？

どなたかわかる方いらっしゃいましたら教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/02 00:10

o(x^m) は lim o(x^m)/x^m = 0 となるような関数の総称だからねえ。

x^2+x^3+…… は o(x) のひとつだが、
o(x) が x^2+x^3+…… と書けるとは限らない。
x^1.5 だって x^3 だって o(x) のうちだ。

x^2+x^3+…… が o(x) のひとつ
x^3+x^4+…… が o(x^2) のひとつであることと、
(x^2+x^3+………)(x^3+x^4+………) = x^5+2x^6+………,
o(x)o(x^2) = o(x^3) であることは、
lim (x^5+2x^6+………)/x^3 = 0 であることによって矛盾しない。

この回答へのお礼

あ、たしかに！笑
m,nを整数と勝手に思い込んでました、、、
ありがとうございました！

お礼日時：2019/08/02 00:17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/01 23:47

o(x^m) は「x^m より小さな項」という意味しかないので, ＊多項式の中で使われたとき＊には確かに「(m+1)次以上の項を無視する」ことと同じだけど, 一般には例えば

x^1.5
とかも含むからねぇ.