正定値対称行列の逆行列も正定値対称行列であることの証明

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質問者：randomcreator
質問日時：2019/08/08 00:50
回答数：1件

数学の質問です。線形代数学です。

正定値対称行列の逆行列も、正定値対称行列となる証明は、簡単に書くと以下のようにすればよいのでしょうか？

①正定値対称行列の逆行列が対称行列であることの証明

正定値対称行列をAとすると、Aの固有値は正定値行列の性質より全て正なので、Aの行列式は固有値の積で正となる。よって、Aは正則であり逆行列をもつ。

よって対称行列の逆行列も対称行列なので、正定値対称行列の逆行列は対称行列。

②正定値対称行列の逆行列が正定値行列であることの証明

正定値対称行列の固有値は全て正である。逆行列の固有値はもとの行列の固有値の逆数になるので、正定値対称行列の逆行列の固有値は全て正である。よって、正定値対称行列の逆行列も正定値行列となる。

①、②より正定値対称行列の逆行列も対称行列かつ正定値行列となるので、正定値対称行列である。