ｎ次べき零行列、ｎ次べき単行列、ｎ次べき等行列

これらについて、
１．3次場合の例
２．ｎ次の一般形
はどうなりますか。

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2016/05/18 20:15

固有値が係数体に無い場合は奥が深そう・・・

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2016/05/17 21:39

よう知らんから眉に唾つけて読んで頂戴。

A^k=E、A^k=A　なら最小多項式が単根をもつことが保証されるので対角化可能ですよね。個別の行列では固有値が何個並ぶか調べますが、一般論なら λ^k -1=0（一方は λ^k -λ=0 ）の解のどれか、またはすべてが重複も有りで対角に並んだものが代表元だと思います。
ただし、固有値が係数体に無い場合、適切な相似形を見つけなければなりません。
たとえば固有値が (-1+√3i)/2, (-1-√3i)/2 の二次正方行列のとき、

1 1
-i i

とその逆行列を左右からかけると

-1/2 -√3/2
√3/2 -1/2

という回転を表す行列になります。実数体ならこれを代表にしていいと思います。
有理数体なら

1 1
(-1+√3i)/2 (-1-√3i)/2

とその逆行列を左右からかけると

0 1
-1 -1

になるので、これを代表元にできると思います。
n 次でも同じ理屈でできると思います。　←本当？
このように係数体によっては一仕事いりますね。


A^k=O なら対角成分がすべて 0 のジョルダン細胞の直和（O行列が加わることもありうる）が代表元だと思います。


1. はどう書けばよいかわからなかったので書きませんでした。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/16 17:41

>これですが、2乗するとEになり、3乗すると元に戻りますが

>ベキ単行列とはこれでよいのでしょうか。

私はべき単行列の定義は以下だと思ってます．

正方行列を A とすると
A^n=E(nは正の整数、Eは単位行列) となる n が存在する。

他に有ります？

この回答へのお礼

＞正方行列を A とすると
A^n=E(nは正の整数、Eは単位行列) となる n が存在する。

なるほどね。
「Aがべき○○行列であるとはA^n=○○となる n が存在する。」ということでしたか。
これより、
Aがべき零行列→A^n=Oとなる n が存在する。
Aがべき単行列→A^n=Eとなる n が存在する。
Aがべき等行列→A^n=Aとなる n が存在する。
ということでしたか。
よく分かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/05/16 18:17

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/16 11:47

1.どんなものかは3次行列のケーリーハミルトンであたりがつくので

A^2 でそうなるAの例を考えてみました。

べき零

1 0 1
0 0 0
-1 0 -1

べき単

-1 0 0
0 -1 0
0 0 1

べき等

0 0 1
0 0 1
0 0 1

2. ？

この回答へのお礼

＞べき単

-1 0 0
0 -1 0
0 0 1

これですが、2乗するとEになり、3乗すると元に戻りますがベキ単行列とはこれでよいのでしょうか。

お礼日時：2016/05/16 17:18