最高位の数字

画像の問題で（２）以降特に（４）でのｍ→∞の極限を見据えて、画像２枚目のようにｎ＝０から９までの値を調べ、さらにそれにｎ＝１０～１９まで調べたところ、２＾ｎに関して、それに２＾１０をかけてもその最高位の数字は変化しない（特に、１０２４だから、（４）のようにｍが十分大きくなれば２４の影響は無視できそう）と踏んで、それを示そうとしましたが、当然f(n)×１０＾ｋ≦２＾ｎ＜（ｆ（ｎ）＋１）×１０＾ｋに各辺２＾１０をかけてもその式から２＾ｎ＋１０での最高位の数字＝ｆ（ｎ）は言えそうにありません。どう工夫すればよいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ２枚目です。２枚目の考察から（２）ではｎ＝０、４，７＋１０ｍの形（３）ｎ＝２＋１０ｍの形しか最高位の数字がそれぞれ１，４にならないことを示すために、「２＾ｎに関して、それに２＾１０をかけてもその最高位の数字は変化しない」を示そうとしました。

  
    補足日時：2020/02/29 01:40

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/01 19:26

常用対数を用いて大きな数の桁数を求める問題は有名ですが、それを応用するとその数の最高位の数字

を求めることができます。
（1）
log 2^200=200 log 2=200×0.3010=60.20
60≦ log 2^200 <61
log 10^60≦ log 2^200 < log 10^61
10^60≦ 2^200 < 10^61
よって、2^200 は61桁の数です。

log 2^200=60.20、log 1=0、log 2=0.3010 より、
60+0≦ log 2^200 <60+0.3010
log 10^60+log 1≦ log 2^200 < log 10^60+log 2
log (１×10^60)≦ log 2^200 < log (2×10^60)
１×10^60≦ 2^200 < 2×10^60
よって、2^200 の最高位の数字は１です。
f(200)=1

（2）
log 2^n=n log2=0.3010 n
0.3010 n の整数部分から桁数が求められますが、小数部分から最高位の数字が求められます。
2^n の桁数をｋとすると、f(n)=1 より、
１×10^(k-1)≦ 2^n<2×10^(k-1)
log１+log 10^(k-1)≦ log 2^n<log 2+log 10^(k-1)
log１+(k-1)≦ n log 2<log 2+(k-1)
0+(k-1)≦ 0.3010 n < 0.3010+(k-1)
0.3010 n の小数部分が０以上0.3010 未満であれば良いわけです。

[1] ０≦ｎ＜100のときは、0.3010 の小数第3位の数字１は影響しないので、
ｎの1の位の数字が、０か４か７であれば条件を満たします。
よって、f(n)=1 を満たすｎは、
0,10,20,……,90 の10個
4,14,24,……,94 の10個
7,17,27,……,97 の10個
合計30個です。

[2] 10０≦ｎ＜200のときは、0.3010 の小数第3位の数字１が100倍されて小数第1位にあがってくる
ので、ｎの1の位の数字が、０か３か７であれば条件を満たします。
よって、f(n)=1 を満たすｎは、
100,110,120,……,190 の10個
103,113,123,……,193 の10個
107,117,127,……,197 の10個
合計30個です。

(1) より、f(200)=1 なのでそれを合わせると求めるｎの個数は61個です。

（3）
f(n)=4 より、
4×10^(k-1)≦ 2^n<5×10^(k-1)
log 4+log 10^(k-1)≦ log 2^n<log 5+log 10^(k-1)

log 4=2 log2=2×0.3010=0.6020
log 5=log 10/2 =log 10 - log 2=1-0.3010=0.6990 より、

0.6020+(k-1)≦ 0.3010 n <0.6990+(k-1)
0.3010 n の小数部分が 0.6020 以上 0.6990 未満であれば良いわけです。

[1] ０≦ｎ＜100のときは、0.3010 の小数第3位の数字１は影響しないので、
ｎの1の位の数字が、2であれば条件を満たします。
よって、f(n)=4 を満たすｎは、
2,12,22,……,92 の10個です。

[2] 10０≦ｎ＜200のときは、0.3010 の小数第3位の数字１が100倍されて小数第1位にあがってくる
ので、ｎの1の位の数字が、5であれば条件を満たします。
よって、f(n)=4 を満たすｎは、
105,115,125,……,195 の10個 です。

f(200)=1 なので、求めるｎの個数は合計20個です。

(4)
（２）より、f(n)=1 となるようなｎは、連続する10個の整数に3個の割合で存在します。
よって、lim (m→∞) a_m /m=3/10

（3）より、f(n)=4 となるようなｎは、連続する10個の整数に1個の割合で存在します。
よって、lim (m→∞) b_m /m=1/10

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/01 03:09

桁数は関係ないから 1024 の代わりに 1.024 を使うことにする (#1 の 1024 は, 正しくはこの 1.024 ね) と

1.024^n がどうなるか
を考えればいい. (1 + 0.024)^n として二項定理で展開すると
1.024^n = 1 + 0.024n + ....
だから, この n が大きくなるほど 1 より大きくなる. 実際
2^2 = 4
2^12 = 4096
2^22 = 4194304
だから, だんだんと 4 から離れていっちゃう.

(0.1/0.01)×10 = 100 だから, 指数が 100 くらいになるとヤバいかな～と推測できる... よね?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/01 02:21

Maxima で実際に計算させてみたけど, この問題の範囲でも

「ｎ＝２＋１０ｍの形しか最高位の数字が４にならない」
は成り立たないねぇ. まあ, 「ひょっとしたら」とは思っていたんだけど.

あと, 補足の方の写真は計算を間違えてるよ.

この回答へのお礼

ありがとうございます、確かにそれが成り立つとして、求めたところ答と合いません。20個が答です。因みに、nが小さければ成り立つかもしれない。という見立ては、どうしてそう予想されたのですか？2∧nがおおきくなるにつれ、1024をかけると、24との積の部分の影響が小さくなるため、むしろnが大きいなら、成り立ちそうと思ってしまいました。

お礼日時：2020/03/01 02:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/02/29 20:41

ベッドの中で考えた. これ, どんな層がターゲットなんだろ....

そもそも「m が十分大きくなければ」という条件が付いてる時点で命題じゃないから証明も反証も不可能だねぇ.

さておき, 全く違う方向だけど「2 より小さな正の整数が 1 しかない」ことに気づくと, (2) と (4) の左の極限は計算ができてしまう. (3) は, この問題に限定すればその方針で行ける. 注意すべきは
5/4 と 1024^n
だ (ただし落とし穴には注意).

(4) の右の極限は左の極限が分かれば推測できるんだけど, どうやって証明するんだろう.