A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
ありさん、横からごめん。
(1)は1<|z|だから1/1-zは
普通の等比級数の和にはならない。
|1/z|<1だから1/zのべき級数として展開する必要あり。
1/(1 - z/2)のほうは |z/2|<1だからz/2のべき級数で展開できる。
だから写真のような展開になる。
No.2
- 回答日時:
> 具体的にローラン展開を計算する前に見通す方法はないのでしょうか。
って質問みたいだけど、写真ではまず実際にローラン展開してるね?
写真の「z=0 を中心とするローラン展開」は
f(z) = 1/(1 - z) - 1/(1 - z/2) = Σ[n=0→∞] z^n - Σ[n=0→∞] (z/2)^n
の間違いだと思う。 どちらの Σ も等比級数の和を使っている。
負べきの項は無いよ。
No.1
- 回答日時:
f(z) の z=a を中心とするローラン展開の
負べきの部分が m 項で終わるとは、z=a が f(z) の m 位の極だということ。
負べきの部分が無限項あるとは、z=a が f(z) の真性特異点だということ。
lim[z→a] f(z) (z-a)^m = 0 となる m があるかどうかで判定できる。
正べきの部分が有限項であるかどうかは、
z=a が m 位の極であれば f(z) (z-a)^m が 多項式かどうかで判定できる。
(1)
z=0 を中心とするローラン展開だから、
z=0 が f(z) の特異点でない(0位の極である)ため、負べきの部分は 0 項。
f(z) z^0 が多項式ではないため、正べきの部分は無限項ある。
(2)
z=1 を中心とするローラン展開だから、
z=1 が f(z) の 1 位の極であるため、負べきの部分は 1 項。
f(z) (z - 1)^1 = -1 + 2(z - 1)/(z - 2) が多項式ではないため、
正べきの部分は無限項ある。
(3)
z=∞ を中心とするローラン展開だから、 f(1/w) をローラン展開すればいい。
f(1/w) = (1/w)/{(1/w - 1)(1/w - 2)} = w/{(1 - w)(1 - 2w)}.
w=0 が f(1/w) の特異点でない(0位の極である)ため、
f(1/w) のローラン展開の負べきの部分は 0 項。
f(1/w) w^0 = w/{(1 - w)(1 - 2w)} が多項式ではないため、
f(1/w) のローラン展開の正べきの部分は無限項ある。
w = 1/z を代入して z の話に戻せば、
f(z) のローラン展開の正べきの部分は 0 項、
f(z) のローラン展開の負べきの部分は無限項あることになる。
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回答ありがとうございます。
(1)に関してですが、画像のようなドーナツ型の領域⭐1<|z|<2ではふ巾、せい巾共に無限項あり、|z|<1ではせい巾が無限項となるようです。また(3)|z|>2ではふ巾が無数に存在する形になるようです。一般に特異点を中心とせず、またぐ形で⭐のようにローラン展開した場合にせい巾、ふ巾両方とも無限項になるのでしょうか?