複素関数論、ローラン展開 ローラン展開で負べきの部分、正べきの部分がそれぞれ有限項のみ存在するか無限

複素関数論、ローラン展開
ローラン展開で負べきの部分、正べきの部分がそれぞれ有限項のみ存在するか無限に存在するかを具体的にローラン展開を計算する前に見通す方法はないのでしょうか。もしあれば、画像の問題を例に教えていただけませんでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  （1）に関してですが、画像のようなドーナツ型の領域⭐1＜｜z｜＜2ではふ巾、せい巾共に無限項あり、｜z｜＜1ではせい巾が無限項となるようです。また（3）｜z｜＞2ではふ巾が無数に存在する形になるようです。一般に特異点を中心とせず、またぐ形で⭐のようにローラン展開した場合にせい巾、ふ巾両方とも無限項になるのでしょうか？

  
    補足日時：2020/10/29 13:58

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/29 11:50

f(z) の z=a を中心とするローラン展開の

負べきの部分が m 項で終わるとは、z=a が f(z) の m 位の極だということ。
負べきの部分が無限項あるとは、z=a が f(z) の真性特異点だということ。
lim[z→a] f(z) (z-a)^m = 0 となる m があるかどうかで判定できる。
正べきの部分が有限項であるかどうかは、
z=a が m 位の極であれば f(z) (z-a)^m が 多項式かどうかで判定できる。

(1)
z=0 を中心とするローラン展開だから、
z=0 が f(z) の特異点でない(0位の極である)ため、負べきの部分は 0 項。
f(z) z^0 が多項式ではないため、正べきの部分は無限項ある。

(2)
z=1 を中心とするローラン展開だから、
z=1 が f(z) の 1 位の極であるため、負べきの部分は 1 項。
f(z) (z - 1)^1 = -1 + 2(z - 1)/(z - 2) が多項式ではないため、
正べきの部分は無限項ある。

(3)
z=∞ を中心とするローラン展開だから、 f(1/w) をローラン展開すればいい。
f(1/w) = (1/w)/{(1/w - 1)(1/w - 2)} = w/{(1 - w)(1 - 2w)}.
w=0 が f(1/w) の特異点でない(0位の極である)ため、
f(1/w) のローラン展開の負べきの部分は 0 項。
f(1/w) w^0 = w/{(1 - w)(1 - 2w)} が多項式ではないため、
f(1/w) のローラン展開の正べきの部分は無限項ある。

w = 1/z を代入して z の話に戻せば、
f(z) のローラン展開の正べきの部分は 0 項、
f(z) のローラン展開の負べきの部分は無限項あることになる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/29 15:22

＞ 具体的にローラン展開を計算する前に見通す方法はないのでしょうか。

って質問みたいだけど、写真ではまず実際にローラン展開してるね？
写真の「z=0 を中心とするローラン展開」は
f(z) = 1/(1 - z) - 1/(1 - z/2) = Σ[n=0→∞] z^n - Σ[n=0→∞] (z/2)^n
の間違いだと思う。 どちらの Σ も等比級数の和を使っている。
負べきの項は無いよ。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2020/10/29 19:09

ありさん、横からごめん。

（1）は1＜|ｚ|だから1/1-ｚは
普通の等比級数の和にはならない。
|1/ｚ|＜1だから1/ｚのべき級数として展開する必要あり。
1/(1 - z/2)のほうは |z/2|＜1だからz/2のべき級数で展開できる。
だから写真のような展開になる。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/10/30 00:36

おお、そのとおりだった。