命題の言い換え、否定について

ある整数xに対してx＞0ならば，x^2＞0である。
あるx＞0である整数xについてx^2＞０。
この↑二つの命題に違いはありますか？
あるとしたらどのように違いますか？
またこの↑二つの命題の否定はどうなりますか？
数学にお詳しい方解答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/21 21:09

命題の例をいくつか眺めて、それらに出てくる単語を使って文を書いてみたが、自分で書いた文の意味がよくわからない、というご質問でありましょう。

　しかし、そのやり方では、（「一見命題風(?)の文」は書けても、）命題が書けるとは限らない。複数の単語が対応する構造があるんです。例えば「〜に対して」と来たら「ある」と続かなくてはおかしくて、さらに「ある」には「Xが存在し」と続かなくてはおかしい。
　ですが、そういう様々な言い回しを暗記したって無駄以外の何物でもない。というのは、それらの言い回しは、本来は記号論理の論理式で書いたものを話し言葉で読み下したものに過ぎない。だから、それを言う方も、聞く方も、双方が論理式を正しく扱える人である場合にのみ、意味が正しく伝達できる。つまり、論理式（正確には「一階述語論理」）を学んで使えるようになることが先決なんです。そして、論理式が使えるようになれば、意味がよくわからんだとか否定がどうなるだろうかだとか、そんな悩みは一切生じなくなる。

● 「ある整数xに対してx＞0ならば，x^2＞0である。」

変な文で、意味がよくわからない。

● 「整数xは、x＞0ならばx^2＞0である」
だと、（この場合のxは定項であることに注意。定項を含むのは「開いた論理式」と呼ばれます。）
　　xは整数 ∧ (x＞0 ⇒ x^2＞0)
ということ。読み下せば
　　「xは整数で、かつ、(x＞0ならばx^2＞0)である」
否定は
　　¬(xは整数) ∨ (x＞0 ∧ ¬(x^2＞0))
読み下せば
　　「xは整数でないか、または （x>0であり、かつx^2＞0でない）」

● 「あるx＞0である整数xについてx^2＞０。」
これも変な文で、「ある」は無視するしかなさそう。そしてxは定項だと考えて
　　x＞0 ∧ xは整数 ∧ x^2＞0
ということだろう。読み下せば
　　「x>0で、かつxは整数で、かつx^2＞0である」
　その否定は
　　¬(x＞0) ∨ ¬(xは整数) ∨ ¬(x^2＞0)
読み下せば
　　「x>0でないか、またはxは整数でないか、または x^2＞0でない」

ところで、
● ∀x(xは整数 ⇒ (x＞0 ⇒ x^2＞0 ))
は
　　「任意の整数xについて、x＞0ならばx^2＞0である」
と読み下せる。
　その否定は
　　∃x(xは整数 ∧ x＞0 ∧ ¬(x^2＞0))
読み下せば
　　「あるxが存在して、xは整数であって、かつx>0であって、かつ¬(x^2＞0)でない」
また
● ∃x(x＞0 ∧ xは整数 ∧ x^2＞0)
なら
　　「x＞0である整数xが存在してx^2＞０」　　
と読み下せて、これは
　　「あるxが存在して、x＞0 かつ xは整数 かつ x^2＞０である」
とも読み下せる。
　その否定は
　　∀x(¬(x＞0) ∨ ¬(xは整数) ∨ ¬(x^2＞0))
すなわち
　　「任意のxについて、x＞0でないかまたはxは整数でないかまたはx^2＞0でない」

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
読ませていただいてからしばらく自分で考えまして、解決の糸口とできそうです。

お礼日時：2020/12/30 19:37