円と外接多角形の周の長さ

円周＜外接多角形の周の長さ　の証明をやろうと思ったんですが、できません。

円周率を使わずに証明できますか？

No.17 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/17 00:27

＃１６の☆の意味を取り違えていました。

＃１６での☆部分の説明は不要ですね。

No.16 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/17 00:20

＃１４，１５＞成る程私的には概ね一致しました。

＞これを証明してください。
条件は同じです、
線分の至る所で微分可能な時全長に渡って積分できます。これを認めることができないのなら積分はできません。
反証にフラクタル図形を持ち出す必要はないです。
＞円は区分的に微分可能である
円には至る所接線を描くことができる。
ということは、区分的に微分可能であることを表すと思います。
＞☆が区分的に微分可能な図形で成り立つ
これは証明する必要がないと思います。
凸な多角形がより外側の凸な多角形の方がより周が伸びるということは既に述べました。
今言いたいことは多角形でない（つまり凸な曲線）が微小線分からなる多角形と見なすことができるということなので、そちら側はすでに不要かと。

No.15 回答者： yaksa 回答日時： 2005/02/16 23:56

言わずもがなな気もしますが。

☆「曲線の長さが極小線分の和で表せる」
これが成り立たない曲線も当然、存在します。
たとえば、いたるところ微分不可能な図形（フラクタル図形）はそもそも微小部分を考えられないのですから、なりたちませんね。だからといって「長さ」が存在しないというわけではなくて、定義に戻って、
「曲線の長さは曲線上に頂点を持つ任意の折れ線の長さの上限」で計算すれば、もちろんフラクタル図形の「長さ」も計算できます。
実際には☆は、区分的に微分可能な図形でしか成り立たないわけです。

というわけで、この方針で示したいなら、
・☆が区分的に微分可能な図形で成り立つ
・円は区分的に微分可能である
の２つの事実を証明する必要があります。

No.14 回答者： yaksa 回答日時： 2005/02/16 23:35

ですから、

＞曲線の長さが極小線分の和で表せる
これが明らかでないのです。これを証明してください。

あくまで、「曲線の長さは曲線上に頂点を持つ任意の折れ線の長さの上限」で定義されています。
この定義のもとで、「曲線の長さが極小線分の和で表せる」ってのは明らかではないので証明してください。

＃１の方の参考ページの＃７～＃９あたりを読まれるとよいかと。

今は、円という２次元の図形の、円周という一次元の部分を問題にしています。こういうふうに、対象の図形全体の次元と、注目している部分の次元が異なるとき、その次元の差を「余次元」といいます。
余次元が０のときは何も考えずに微小な要素を考えてもほぼ間違いは起きませんが、余次元が１以上の場合は、微小要素の極限を考えるときにはかなり注意をする必要があります。
「細かく見る極限で、折れ線が曲線に一致する」からといって「曲線と直線の長さが等しい」とは限らないってことです。この場合はうまく一致しますが、＃１さんのページの＃７で述べられているように、これが成り立たない例（いわゆるフラクタル図形）はたくさんあります。

No.13 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/16 23:05

>循環論法になっていると思われます。

もともと、＃４の話は三角関数云々には関係なく
曲線の長さが極小線分の和で表せるというということに基づいた話です。

No.12 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/16 22:57

うーん。

別に議論する気もないです。
間違っている所は知りたいでしょう？
＃１１の話はかなりボケた話な気がします。（言い換えれば譬えにならない譬えのような…）
「曲線の極小線分の和で線分（曲線）の長さが表せる」
というのはいいでしょうか？
「折れ線が存在しない」ということは、これは認められないということですよね。
もちろんいつも求められるとは限りませんが、円のような滑らかな場合は求められますよね。
θ→０の時の（２π／θ）ｒｓｉｎθ
のように（式自体はなんでもいいのですけど）
極小線分の和で曲線の長さが求められるとしたら
＃４の話は適応できるということになると思います。

No.11 回答者： yaksa 回答日時： 2005/02/16 21:35

うーん。

私は、（とくに数学については）あまり議論することは好きではないのですが。議論しても無意味だと思いますし。（結局、証明したかしないかっていうだけの問題なので。）

＞「曲線の長さは折れ線の長さの上限で定義されています」
「上限(sup)」と言う語の定義はよろしいでしょうか。
最大値と上限は違います。円の場合には、円周の長さ（上限値）を実際に実現する折れ線は存在しません。
したがって、折れ線(内接多角形)と外接多角形の比較をいくらしても、円周と外接多角形の比較をしたことにはなりません。別の言葉で言えば、明らかに「内接多角形の周＜円周」なので、「内接多角形の周＜外接多角形の周」を証明したからといって、「円周＜外接多角形の周」とは限りません。

イメージとしては、
全ての自然数nについて 1/n>0 だからといって、
lim_{n→∞}(1/n) > 0
が成り立たないことと同じです。

＞曲線と直線の長さが比較できないなんていうのは
比較はもちろんできますが、比較するときには、
「1/n>0だからlim_{n→∞}(1/n) > 0」のような論理にならないように注意深くしないといけません。

それから、ユークリッド幾何から出発する立場に立てば、三角関数の微分・積分は、そもそも、
「内接多角形＜円周＜外接多角形」
という事実を使って定義されているはずなので、三角関数の微積を使ってこれを証明するのは、循環論法になっていると思われます。

No.10 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/16 18:33

＞円をどんなに拡大しても曲線のままでけっして直線にはならないので、上のような線分同士の長さの比較の話は使えません。

直線と曲線の長さが比較できないなんて、変ですね？
＞実際、円の場合はありません。
θ→０の時の（２π／θ）ｒｓｉｎθ
で円周の長さは求められますよ。
円に限らず、曲線と直線の長さが比較できないなんていうのは、「私は積分と微分を認めない！」と言っているようなものです。
円に限らず、凸な曲線が既に長さを（線分の総和として求められたとして）それより外側に凸な曲線でも直線でも長くなるのは極小三角形から言えると思います。そのことを認めないのは、繰りかえしになりますが、積分を認めないのと同等の意見だと思います。

No.9 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/02/16 18:07

>＞「引っ張る」というのが、全体の形が常に凸になるような～

>これが明らかでないと言っているわけです。
そうですか？
ある２点間の経路を考える時、凸である図形より外側で凸な図形は、明らかに経路が長くなる（短くなるような経路が存在しないのが明らか）
これは、
「これが明らかなことは同意します」と言っておられることからわかりますよね？
結局納得できるできないは、
滑らかな凸図形である円に上の論理が適用できるできないの話だと思いますが、奇しくも自分でもおっしゃっているように
「曲線の長さは折れ線の長さの上限で定義されています」と考えているのなら、相似になる内接多角形と外接多角形の外周の長さは合同の中心からの長さの比で大きいですからその内側の内接多角形の"上限"である円周よりその外側の外接多角形の方が大きいのは明らかですよね？

No.8 回答者： tenro 回答日時： 2005/02/16 16:19

図を説明するのに座標平面で記述します。

原点Oを中心とした半径rの円を考え、偏角0の円上の点をA、偏角θの円上の点をB、点Aから引いた線分OAの垂線とOBの延長線の交点をCとします。
点Bを中心とした円上の弧の微小要素の長さをdA、dAを原点から線分OCの延長線に投影してできる影の長さをdLとすれば、dLは点Cを含む線分OCの微小要素の長さになります。
簡単な計算から、dAが十分小さく線分で近似して良いとすると
　　dL = dA÷cos^2θ　　　　（式１）
がわかります。cos^2θ<1ですので
　　dL > dA
が言えます。これを積分すれば、
OC > 弧OB
が言えます。厳密に証明したければ、（面倒なので私はやりませんが）dAが有限の場合に（式１）をきちんと評価すれば良いと思います。（式１）を積分して計算すれば、OC=rtanθがでますが、大小関係ならこれだけでいいと思います。
この路線ではだめでしょうか？