数学の背理法について質問です。 「a,b が有理数の時、a＋b√2 ＝0 ならば a＝b＝0 である

数学の背理法について質問です。

「a,b が有理数の時、a＋b√2 ＝0 ならば a＝b＝0 であることを証明せよ。ただし√2は無理数である。」という問題です。

回答は写真のようになってました。

しかしこのやりかしかしこのやり方ではダメなのでしょうか？↓

a＋b√2＝0 であって a≠0またはb≠0 である有理数a,bがあると仮定する。
b≠0とすると√2＝−a/b
右辺は有理数であるが、これは√2が無理数であることに矛盾する。
したがって、a,b が有理数の時、a＋b√2＝0 ならば a＝b＝0

↑
以上が僕の回答です。

解答と僕の回答の違いは見ていただけるとすぐ分かると思いますが、b≠0と仮定しているか、a≠0またはb≠0と仮定しているか、という違いです。

たしかに、b≠0という条件にしか触れてないですし、"a≠0"という要素はほぼ関係ないので、ただb≠0とだけ仮定した方がいいのかな？とは思いますが、でも別にa≠0またはb≠0と仮定しても成り立ってると思います。

この僕のやり方が間違ってる場合は理由も教えてください！よろしくお願いします。

長文失礼しました。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい！写真載せ忘れました！
  
  これから回答を読ませてもらいますが、写真の解答の上で、追加で回答があればお願いします！
  
  写真なくて相当わかりずらかったですよね…。申し訳ないです。

  
    補足日時：2021/03/01 09:20

No.7 回答者： konjii 回答日時： 2021/03/03 13:36

「a,b が有理数の時、a＋b√2 ＝0 ならば a＝b＝0 であることを証明せよ。

ただし√2は無理数である。」という問題です。
背理法の場合
a,b が無理数の時、a＋b√2 ＝0 ならば a＝b＝0 であることを証明せよ。
a=-√６、b=√3の時（他に‐√10と√5などいくつもある）、a＋b√2 ＝0 であるが、 a≠b≠0となって、a＝b＝0と矛盾する。
よって、
a,b が有理数の時、a＋b√2 ＝0 ならば a＝b＝0 である

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/02 10:37

> a＋b√2＝0 であって a≠0またはb≠0 である有理数a,bがあると仮定する。

> b≠0とすると√2＝−a/b
> 右辺は有理数であるが、これは√2が無理数であることに矛盾する。

ここまででは「a≠0またはb≠0 である有理数a,bがある」という仮定全体がまだ否定できていない。続けて

したがってb=0である。ゆえに仮定より、a＋0√2＝0 であってa≠0である有理数aが存在する。するとa=0かつa≠0であり、これは矛盾である。

というのが（いくら自明っぽくても）欠かせないと思います。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/03/01 18:39

←No.4

いやいや...

「a≠0またはb≠0」ではなく「b≠0」を単独で仮定して
√2 が無理数であることとの矛盾が導ける。
a=0 のほうは、背理法から b=0 を導いた後で、
a＋b√2=0 から言えばいい。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/03/01 01:19

厳密にいえば不足している.

「a≠0またはb≠0」を仮定して「b≠0」を否定しているけど, それだけでは
a≠0 かつ b=0
を否定できていない. その否定自体は #3 でいわれているように「瞬殺」ではあるけど, さりとて無視していいってものでもない. その意味では「写真」の「回答」もあやしいところではあるんだが....

ところで「写真」ってなんだろう.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/28 21:15

そのやり方でいいです。

a に関する検討は、 b=0 を背理法で示した後、
a＋b√2＝0 に b=0 を代入すれば瞬殺ですから。
少し気になるのは、√2 が無理数であること
を証明を添えずに既知として扱っても許されるのか？
という点でしょうかね。
その点は、解く人にどんな知識を仮定するかの
採点基準しだいだと思います。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/02/28 20:50

a≠0の場合の検討が抜けています。

この場合は　a√2＋２b＝0 → √2=-2b/a
となって同様の議論ができ、a≠0またはb≠0は矛盾となり、
a=0かつb=0、つまり、a=b=0 となる。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/02/28 20:49

＞"a≠0"という要素はほぼ関係ないので、

それではダメでしょ。
a≠0 とした計算が 矛盾している事を示さないと。
数学の証明に「ほぼ」と云う曖昧な言葉は 使えません。