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数学の質問です。

半径1の球が正四面体ABCDの全ての辺に接しているとき、この正四面体の一辺の長さaは?という問いです。

下の写真がその解説です(写真上にメモが書いてありますが気にしないでください)。
質問が2つあります。


「図形の対称性から、平面ABMは球の中心を通る」と書いてありますが、’図形の対称性から’ だけで証明できるんですか?

なぜ、平面ABMは球の中心を通る、といえるんですか??図形の対称性から…って理由にならない気がします。

また、「図形の対称性から、平面ABMは球の中心を通る」というのなら、線分NMが直径になるのは自明じゃないですか??

「図形の対称性から、平面ABMは球の中心を通る」と同じように、「図形の対称性より線分NMが直径になる」はできないんですか?ということです。

でも解答は、"ABとMN直角に交わり〜〜角NLM=90° より、MNは円の直径" と長々と証明しています。

「平面ABMは球の中心を通る」を示す際には、"図形の対称性より" と説明してますが、一方「線分NMが直径になる」を示す際には、"ABとMN直角に交わり〜〜角NLM=90° より、MNは円の直径" と説明しています。

前者が、"図形の対称性より" で考えられるなら、後者も同じように "図形の対称性より" で示せるはずだと思います。


「角BNL=角BMN よって 角BLN=角BNM」と書かれてますが、なぜ、角BNL=角BMN だと 角BLN=角BNM になるんですか?

以上2つです。

回答お待ちしてます。
長文失礼しました。

「数学の質問です。 半径1の球が正四面体A」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)


全面的に同意です。
この問題/解答の作成者は、
思いつきを問題へと仕上げる段階で
もうちょっと自分の思いつきに対して
自己批判的な視点を持つべきだった
と思います。
仕事として賃金を得てやっていることで、
子供の遊びじゃないんだから。

三角形の内角の和が180°であることから、
角BNL+角BLN+角B=180° かつ
角BNM+角BMN+角Bを=180° だからです。
角BNL=角BMN より、
角BLN=180°-角B-角BLN
=180°-角B-角BMN=角BNM ですよね。
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①について。

例えば、Cを手前にして、BDを奥にしたら、右半分と左半分がACによって、ちょうど真ん中で
分かれているように見えますね。
これが、対称性です。
左右同じに見えるのですから、必ず中心を通っていると言えますよね。
直径であることについては、対称性では、説明できません。NMという直線と、先ほどの対称性は、
関連がないからです。
よって、証明しなければなりません。

②について。
三角形NBLと三角形NBMが相似なので、
対応する角は、等しくなります。
・角NBLが共通
・角BNL=角BMN
2組の角が等しいので、相似条件を満たしていますよね。
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