数列(x_n)_n,x_1:=1,x_n:=1+1/(x_n+1)をQ内の収束列とする。この時、li

数列(x_n)_n,x_1:=1,x_n:=1+1/(x_n+1)をQ内の収束列とする。この時、lim(1+1/(x_n+1))=1+1/(limx_n+1)(n→∞)となることを示すにはどうすれば良いですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/27 12:39

うーん。

書き方が、ちょっとね。
(x_n)_n という式が何だか見慣れないし、
x_n := 1 + 1/(x_n + 1) だったら x_n は ±√2 のどちらかで
そのどっちかも判らないし、
細かいことだけど、 Q が何かの説明もないし。
もうちょっと、伝えようとする意志が必要なんじゃないかな。

x_n が n を添え字に持ち、
x_1 = 1, x_(n+1) = 1 + 1/(x_n +1) で定義される数列だとすると、
有理数の中では収束しません。(実数の中では)極限が無理数だからね。

だとすると何だろう？
漸化式の修正が違うのか、 Q の正体が違うのか...

ひょっとして、漸化式が
x_n = 1 + 1/x_(n+1) の意図なのか？
いや、それだと x_2 が定義できないし。

「Q内の収束列」を無視して
x_1 = 1, x_(n+1) = 1 + 1/(x_n +1) だけで x_n を定義することにすると、
a_n, b_n が収束列で lim b_n ≠ 0 であるとき一般に
lim(a_n + b_n) = (lim a_n) + (lim b_n),　　　　　　　　←[1]
lim(a_n / b_n) = (lim a_n) / (lim b_n)　であることから、　←[2]
lim(1 + 1/(x_n + 1)) = (lim 1) + lim 1/(x_n + 1)
　　　　　　　　　= 1 + 1/lim (x_n + 1)
　　　　　　　　　= 1 + 1/((lim x_n) + (lim 1))
　　　　　　　　　= 1 + 1/((lim x_n) + 1).

[1][2]を証明するには、 lim の定義を確認する必要があって、
高校範囲では lim の基本法則として天下りに受け入れるしかない。
εδ論法で証明するのは難しくなく、たいていの入門書に書いてある。
御要望があれば、それも書くけれども...
その前に、質問の説明を補足してほしいな。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/05/27 13:58