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(極限)
lim(x→-∞) x+1/e^x で -∞ になるらしいのですがなぜこうなるのかが分かりません。1/e^xの極限が∞でx+1の極限が-∞になるから-∞/∞で不定形になるのかと思いました。

質問者からの補足コメント

  • 1/e^x=e^-xで、グラフを見ると左に行くほど上がっているので∞になると思いました!

      補足日時:2021/10/13 23:50
  • 今気付いたのですが、これは-∞/∞ではなくて-∞×∞だから-∞になるのでしょうか、、?

      補足日時:2021/10/13 23:53

A 回答 (3件)

> 1/e^x の極限が ∞ で x+1 の極限が -∞ になるから -∞/∞ で



ってとこから見ると、もとの式は lim(x→-∞) (x+1)/e^x なんですね。
括弧をちゃんと書かないと、lim(x→-∞) x+(1/e^x) にしか見えません。
lim(x→-∞) (x+1)/e^x = -∞/(+0) = (-∞)(+∞) = -∞,
lim(x→-∞) x+(1/e^x) = -∞ + 1/(+0) = -∞ + (+∞) です。

-∞/(+0) や (-∞)(+∞) は不定形じゃありません。
上記のように ∞ と 0 で計算することもできます。
まあ、それじゃナンチャッテな話になるので...
 y = -(x+1) とでも置いて
 x→-∞ のとき y→+∞,
 (x+1)/e^x = -y/e^(-y-1) = -eye^y,
 ye^y > y → +∞
 から (x+1)/e^x → -∞
程度に示してみてはどうでしょう。不定形ではないので、計算は簡単です。

-∞ + (+∞) のほうは本当に不定形なので、別の工夫が必要になりますね。
x+(1/e^x) = (-y-1) + 1/e^(-y-1)
     = - y - 1 + e e^y
     = (e^y){ (- y - 1)/e^y + e }
     → (+∞){ 0 + e } = +∞
ではどうかな。
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この回答へのお礼

なるほどです、、!
納得できました。ありがとうございます

お礼日時:2021/10/16 00:44

それとこの関数はf(x)+g(x)の形なのでどう転んでも極限はα+βの形であってβ/αの形にはならないはずです。

関数がg(x)/f(x)の形なら確かにβ/αの形ですが。
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この回答へのお礼

教えていただきありがとうございました!

お礼日時:2021/10/16 00:45

そもそもなぜ1/e^xのx→-∞の極限が∞になるんでしょうか。

直感で見ても極限は0ですから-∞+0の形になって全体の極限は-∞です。ちょっと1/e^xの極限がなぜ∞になったかを書いてみて下さい。
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