大学数学の解析学の問題です。 XとYを実ノルム空間とし、TをXからYへの線形演算子とします。 （i）

大学数学の解析学の問題です。

XとYを実ノルム空間とし、TをXからYへの線形演算子とします。

（i）Tの有界性と連続性の定義を述べなさい。
（ii）Tの有界性と連続性が同等であることを証明しなさい。

回答よろしくお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2021/07/26 08:49

教科書を見れば分かるレベルかと思いますが……

(i)
有界性: あるM>0があって |Tx|≦M|x|
連続性: 任意のε>0に対してあるδ>0があって |x-y|<δ ならば |Tx-Ty|<ε
ただし定義は教科書によって異なることがあるので要確認。
(ii)
有界性→連続性:
ε>0に対してδ=ε/Mととると
|Tx-Ty|=|T(x-y)|≦M|x-y|<Mε/M=ε
連続性→有界性:
ε=1に対応するδを考える。
任意のxに対して y=(δ/(2|x|))x と置くと |y|=δ/2<δ なので
|Tx|=|T(2|x|/δ)y|=(2|x|/δ)|Ty|<2|x|/δ=(2/δ)|x|
従って M=(2/δ) と置けば良い。