統計学について質問です。 1個のサイコロを2回投げた時、小さい方の目の数をXとする。同じめなら、その

統計学について質問です。

1個のサイコロを2回投げた時、小さい方の目の数をXとする。同じめなら、その数をXとする

xの期待値
xの分散
を求めよ
という問題なのですが、
期待値は3.5
分散は0.25であっていますでしょうか？
どなたか教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/14 13:07

書き方変えてるけど、それ No.3 と何かどこか違うの？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/14 12:08

No.2 です。

結果は #3 さんでよいと思いますが、求め方がちょっと賢すぎますね。

＞1個のサイコロを2回投げた時、小さい方の目の数をXとする。同じめなら、その数をXとする

の条件は、ちょっと泥臭いけど下記のように考えましょうか。

(a) 2つのサイコロの「目」の組合せは、全部で
　6 * 6 = 36 とおり

(b) 一方のサイコロが「１」のとき、他のサイコロが「2～6」であれば X=1 になる。→5とおり
これは、他方のサイコロが「１」のときも同じで、5とおり。
さらに「両方とも１」のときも X=1。これは１とおり。
ということで、X=1 となる目の出方は
　5 + 5 + 1 = 11 とおり
その確率は、(a) を使って
　11/36

(c) 同様に、一方のサイコロが「２」のとき、他のサイコロが「3～6」であれば X=2 になる。→4とおり
これは、他方のサイコロが「２」のときも同じで、4とおり。
さらに「両方とも２」のときも X=2。これは１とおり。
ということで、X=２ となる目の出方は
　4 + 4 + 1 = 9 とおり
その確率は、(a) を使って
　9/36 = 1/4

(d) 同様に、X=3 となる目の出方は
　3 + 3 + 1 = 7 とおり
その確率は、(a) を使って
　7/36

(e) 同様に、X=4 となる目の出方は
　2 + 2 + 1 = 5 とおり
その確率は、(a) を使って
　5/36

(f) 同様に、X=5 となる目の出方は
　1 + 1 + 1 = 3 とおり
その確率は、(a) を使って
　3/36 = 1/12

(g) 同様に、X=6 となる目の出方は、「両方とも６」のときだけなので
　1 とおり
その確率は、(a) を使って
　1/36

（検算として、(b)～(g) を全部足し合わせれば「１」になりますね）

以上から
　E[X] = 1 * 11/36 + 2 * 1/4 + 3 * 7/36 + 4 * 5/36 + 5 * 1/12 + 6 * 1/36
　= 91/36
　≒ 2.53


分散は、#1 にも書いた V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2 の公式を使います。
このために E[X^2] を計算すれば
　E[X^2] = 1^2 * 11/36 + 2^2 * 1/4 + 3^2 * 7/36 + 4^2 * 5/36 + 5^2 * 1/12 + 6^2 * 1/36
　= 301/36
なので
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
　　　= (301/36) - (91/36)^2
　　　= 2555/1296
　　　≒ 1.97

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/13 14:11

期待値は、

E[X] = 6( (1/6)² - 0 ) + 5( (2/6)² - (1/6)² ) + 4( (3/6)² - (2/6)² )
　　　+ 3( (4/6)² - (3/6)² ) + 2( (5/6)² - (4/6)² ) + 1( 1 - (5/6)² )
　　= 91/36
　　≒ 2.53
ですね。
(小さい方の目が x である確率) = (両方の目が x 以上である確率)
　　　　　　　　　　　　　　- (両方の目が x+1 以上である確率)
ですから。

分散は、
E[X²] = 6²( (1/6)² - 0 ) + 5²( (2/6)² - (1/6)² ) + 4²( (3/6)² - (2/6)² )
　　　　+ 3²( (4/6)² - (3/6)² ) + 2²( (5/6)² - (4/6)² ) + 1²( 1 - (5/6)² )
　　　= 301/36
より
V[X] = E[X²] - E[X]²
　　= (301/36) - (91/36)²
　　= 2555/36²
　　≒ 1.97
ですかね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/13 10:23

No.1 です。

サイコロを1回投げる場合には、「理論的なサイコロ」であれば
・「１」の目の出る確率：1/6
・「２」の目の出る確率：1/6
　～
・「６」の目の出る確率：1/6
ですから、その期待値は

　1 * (1/6) + 2 * (1/6) + ・・・ + 6 * (1/6) = 3.5

になります。

その分散は、まじめに定義通り計算してもよいですが、
　V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
の公式を使って
　E[X^2] = 1^2 * (1/6) + 2^2 * (1/6) + ・・・ + 6^2 * (1/6)
　　　　　≒ 15.17
より
　V[X] ≒ 15.17 - 3.5^2 = 2.92

これが、題意である「2個のサイコロ」の場合にどのように変わるか？
X は2個のサイコロの目の小さい方ですから、たとえば
　X=6
になる確率はかなり小さくなる、少なくとも「サイコロ1個で6が出る確率」よりも小さいと考えられます。
従って、「X の期待値」が、上に書いた「１個のサイコロの出る目の期待値：3.5」と同じになるとはとても考えられません。

また、１個サイコロを振ったときの出る目の数の分散が「2.92」であるとき、X の分散が「0.25」などと 1/10 以下に小さくなるとも考えられません。

従って、

＞期待値は3.5
＞分散は0.25であっていますでしょうか？

は、明らかに「合っていません」でしょう。

どう考えたから間違っているのか、質問者さんの考え方や上記の値を求めたプロセスを書いてもらえると、いろいろ議論しやすいと思います。
「補足」にでも書いて下さい。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/12 22:35

１個のサイコロを１回投げたときに出る目の期待値はいくつですか？

それと同じですか？

分散はどうやって求めましたか？