No.4ベストアンサー
- 回答日時:
訂正します
fのr階偏導関数が全て存在して連続ならば
fはr階全微分可能だから
(r-1)階導関数は全て存在して連続です
-------------------------------
z=f(x,y)
に対して
ある領域においてz_x,z_yが存在して連続とする
Δz
=f(x+h,y+k)-f(x,y)
={f(x+h,y+k)-f(x,y+k)}+{f(x,y+k)-f(x,y)}
xに関して平均値の定理を適用すれば
f(x+h,y+k)-f(x,y+k)=hf_x(x+θh,y+k)
となる0<θ<1が存在する
仮定によってz_x=f_xは連続だから
f_x(x+θh,y+k)=f_x(x,y)+ε
と置けばh→0,k→0の時ε→0
次にyに関する偏微分が可能だから
f(x,y+k)-f(x,y)}=kf_y(x,y)+ε'k
と置けばk→0,の時ε'→0
∴
Δz=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+hε+kε'
|h|≦ρ,|k|≦ρ,(ρ=√(h^2+k^2)),
従って|hε+kε'|≦(|ε|+|ε'|)ρだから
Δz=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+oρ
すなわち
z=f(x,y)は(全)微分可能である
だから
z=f(x,y)は連続である
No.2
- 回答日時:
(r-1)階偏導関数が
連続でなければ偏微分不可能だから
偏微分可能であるためには連続でなければならない
fの(r-1)階偏導関数を1階偏微分したものがr階偏導関数というのだから
(r-1)階偏導関数が存在しなければr階偏導関数は存在しない
(r-1)階偏導関数が連続でなければ偏微分不可能だからr階偏導関数は存在しない
r階偏導関数が存在するためには(r-1)階偏導関数が連続で偏微分可能でなければならない
No.1
- 回答日時:
fの(r-1)階偏導関数を1階偏微分したものがr階偏導関数というのだから
(r-1)階偏導関数が存在しなければr階偏導関数は存在しない
(r-1)階偏導関数が連続でなければ偏微分不可能だからr階偏導関数は存在しない
r階偏導関数が存在するためには(r-1)階偏導関数が偏微分可能でなければならない
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 数学の問題についての質問です。 R上の関数f(x)=(x-1)(x-5)(x-10)+1について、こ 3 2023/02/12 17:24
- 数学 連続関数f,g:ℝ→ℝは f(x)<g(x) (∀x∈ℝ) をみたしています。 このときC^∞級関数 2 2023/01/01 00:00
- 数学 ある方から頂いた回答について 1 2023/07/10 11:34
- 数学 実数同士の対応における対角線論法について 6 2023/07/08 17:01
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- Excel(エクセル) 【関数】ハイフン(-)を月や日に変えたい。スペースを削除したい。 4 2023/07/12 08:49
- 数学 f : ℝ→ℝ が微分可能で一様連続のとき、導関数 f' は ℝ で有界であるといえますか? 7 2022/07/03 20:10
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
IHの消費電力は?
-
連続する3つの整数の積が6の倍...
-
f(x,y)=(x^3 -y^2)/(2x-y) とい...
-
数列 漸化式
-
x^2sin(1/x) と 0(x=0) での連続性
-
プログラミングと素数砂漠
-
連続4整数
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
複素数によって連続と離散をつ...
-
一次方程式
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
4期連続赤字とは?
-
4×4魔法陣ってどんな数字でも出...
-
次の関数f(x)が連続になるよう...
-
|x-1|+|x-2|の場合分けをすると...
-
複素関数論、調和関数の平均値...
-
ジャンケン連勝世界記録
-
閉集合上で定義された連続関数...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
x^2sin(1/x) と 0(x=0) での連続性
-
ジャンケン連勝世界記録
-
無理数は連続ですか?
-
連続4整数
-
ε-δ論法による関数の連続性につ...
-
平方の差(基本)
-
連続する3つの整数の積が6の倍...
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
区分的に連続な関数について
-
「Newton」7月号特集記事
-
中3 式の計算
-
数学の問題です。 ある連続する...
-
連続する2整数が互いに素(最大...
-
自動紙送り装置
-
複素関数の連続性
-
単純支持梁と連続支持梁の違い
おすすめ情報
連続性は言えますか?
f(x、y) = xy/(x^2+y^2)
これは、原点で偏微分可能ですが不連続です。
間違えました。
f(x、y) = xy/(x^2+y^2),(x,y)≠(0,0),
f(x,y)=0,(x,y)=(0,0)
これは、原点で偏微分可能ですが不連続です。