連続関数f,g:ℝ→ℝは f(x)<g(x) (∀x∈ℝ) をみたしています。 このときC^∞級関数

連続関数f,g:ℝ→ℝは
f(x)<g(x) (∀x∈ℝ)
をみたしています。
このときC^∞級関数h:ℝ→ℝで
f(x)<h(x)<g(x) (∀x∈ℝ)
をみたすものは存在しますか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/03 19:22

いつも冴えてますね！ でも、今回は多少修正が必要な気が。

f(x), g(x) が激しく振動する関数だと、折れ線が有限和では済まなくなります。
線型和が級数になると、RLU のときは Σ0 で収束していたものが
G に置き換えたとき発散する可能性が生じます。
線型和の係数は折れ線を決めたとき決まっているし、
σ を小さくしようとすれば大きくなってしまうので、
収束するように調節することができません。
区分的に有限和にしたのでは、繋ぎ目が滑らかにならないし...
スロースターター関数を使って、区分有限和の境界を
C^ω ではないけれど C^∞ になるように繋ぐ のが解決になるかな？
と妄想しつつ、よくわかりません。
こんなどー見ても存在するに決まってるものを構成するのが
どうしてこんなにややこしいのだろう？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/02 16:41

機械学習でおなじみの

　　RLU(x) = max(x, 0)
は、グラフをタテヨコに、ずらしたりスケーリングしたりしたものを足し合わせれば勝手な折れ線のグラフが作れる。一方、ガウス関数exp(-(x^2)/(2σ^2))を2回積分した関数をGとすると、|σ|を十分小さくすればいわば「RLUの角をちょっと丸めたもの」。というわけで、fとgのグラフのスキマを（どちらにも接触しないように）通る折れ線を作っておいて、それをRLUの和で表し、さらに各RLUを|σ|がウンと小さいGで置き換えてやればいいんじゃないかな。
　…と考えたが、証明はできてないす。