複素数によって連続と離散をつなぐことは可能ですか

フーリエ変換は量子力学において左辺が粒子を、右辺が波をそれぞれ表現するそうですが、粒子を数学で言う離散、波を連続と考えることは可能でしょうか。もし可能だとしたら両者をつないでいるのは複素数なのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Suue 回答日時： 2007/07/28 15:11

フーリエ変換に複素数が出てくるのは、記述を楽にするためです。

考えてみればすぐにわかりますが、実関数をフーリエ変換して、複素関数になるはずがありません。しかしどうしてわざわざ複素数を用いるのかというと、複素数を用いると、三角関数は指数関数として表記できるからです。
つまり、オイラーの公式
ｅｘｐ（ｉｘ）　＝　ｃｏｓｘ　＋　ｉｓｉｎｘ
を用いるということです。

指数関数は、微積分しても形が変わらない、指数法則が成り立つなどの簡便な性質があり、三角関数よりは扱いやすいです。ですから、フーリエ変換に複素数が用いられています。

余談ですが、解の公式を用いて３次方程式を解くときには、その３個の解がすべて実数であっても、途中過程で複素数がないと解けません。虚数単位のｉはimaginary numberの頭文字ですが、想像上の数なんかではなく重要な数字です。

シュレーディンガー方程式については…申し訳ありませんが、よくわかりません。　

この回答へのお礼

御教示ありがとうございます。最後の答えが実数であっても途中には複素数が不可欠ということが数学で言う連続と離散とはつながらないのでしょうか。

お礼日時：2007/07/28 15:49

No.4 回答者： proto 回答日時： 2007/07/30 00:17

＞自然数を離散に、実数や複素数を連続に対応させるというのがどのように誤りであるかをご説明いただければ幸いです。

別に誤りであるとは思いませんが、対応させる以前に、「離散的」の意味から言って自然数は離散的であり、「連続的」の意味から言って実数は連続的です。
これは対応させたのではなく、言い換えた、説明しただけです。

リンゴを果物、キャベツを野菜に対応させられないでしょうか？と言っているようなものです。

それをふまえた上で、離散的な自然数と連続的な実数を"つなぐ"とはどういう意味のことを期待しておられるでしょうか？
数学では例えば「ここでAとBをつなぐと、～である」と言ったような表現はあまり使われないので、質問の意味自体が捉えにくいのです。


＞粒子と波というのは数学でいう離散と連続に対応しないものですか。
どのような意味で対応すると思うのか、発想だけでも示して頂いた方がわかりやすいと思います。
粒子の"何"が離散に対応すると思われますか？
個数ですか？質量ですか？速度ですか？エネルギーですか？
波の"何"が連続に対応すると思われますか？
周波数ですか？重ね合わせの原理ですか？速度ですか？エネルギーですか？
いまの状態では曖昧で、対応すると言えば対応する気もするし、対応しないと言えば対応しない気もする、といった感じです。

例えば「自然数を日本に、実数をアメリカに対応できないでしょうか？」と言う質問をされたら、比喩的な意味で対応するかもしれないし、関係ないかもしれないと思うでしょう。
それと同じような感じです。

そこまで、比喩的な問題では無いと思いますが、粒子・波のどんなところが離散・連続のどんなところに対応すると考えてますか？
もう少し補足をお願いします。

この回答への補足

ごまかすつもりも逃げるつもりもありませんが、私の質問の源から話させてください。ある本に複素数を含んだ公式で表される現象を観察すると観察されるのは実数部に対応する部分である、と書いてありました。もしこの公式で虚数部が連続でも実数部が不連続になるような数学的構造があったとしたら古典力学(巨視的）による観察と量子力学(微視的）の不確定性に対応して観察すると粒子になるが実際には波でもあるというような（すみません、この辺であなたが嫌ういい加減な表現になってしまいます・・・）量子力学特有な日常的常識を絶する物事のありようを理解できないかということでした。私の感じ（！）では粒子は位置が決まってるので離散的、波は位置が決まらないので連続的という言い方になると思います。

補足日時：2007/07/30 03:21

No.3 回答者： proto 回答日時： 2007/07/29 14:08

連続と離散をつなぐってどういうことでしょうか？

粒子を離散と考えるとはどういうことですか？
波を連続と考えるとはどういうことですか？

なんとなくそんな気がする、で考えてませんか？
なんとなくでは数学は出来ませんよ。


たとえば自然数だけでしか定義されていなかった階乗n!が解析的手法により実数や複素数まで拡張されて連続関数になる((-1/2)!=√πなど)と言ったような意味ですか？

この回答への補足

粒子と波というのは数学でいう離散と連続に対応しないものですか。対応しない可能性は高いと思っていましたがどのように対応しないかをご説明いただくことは何か学習においてなにかまずいことがあるのでしょうか。なんとなくというのはいい加減に考えてという意味ではなく、私としては何が何だかわからないために結果的にそういう表現になってしまっています。物理学も数学も事情があって正規の高等教育を受けることができなかったためにサイバーユニバーシティの１年生と思っています。最後の数学的なご提示もやはり何となくそうなのだろうなという感じですが、この例を用いられて私の問題点を御教示いただければ幸いです。自然数を離散に、実数や複素数を連続に対応させるというのがどのように誤りであるかをご説明いただければ幸いです。

補足日時：2007/07/29 15:49

No.1 回答者： maku_x 回答日時： 2007/07/28 08:28

数学の難しい理論のことは良く分かりませんが...

> 波を連続と考えることは可能でしょうか。
量子力学を適用すれば、その波の波長(振動数とも言えます)は離散的になりますから、連続とは言えないでしょう。量子力学で表現できる個々の粒子の振る舞いを、統計力学によって全体の振る舞いとして扱い、事実上「連続」と見なし、これは古典力学の振る舞いに合致する、と考えられます。

この回答へのお礼

御教示ありがとうございます。フーリエ変換の公式に複素数が出てくる理由も分からないのですがシュレーディンガー方程式にも複素数がでてきます。何か共通の理由があるのかなと思いました。

お礼日時：2007/07/28 10:10