{n!(1-log(Σ[k=0→n]1/k!))} (n=1,2,…) という数列は単調減少ですか？

{n!(1-log(Σ[k=0→n]1/k!))} (n=1,2,…)
という数列は単調減少ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/29 16:44

この数列をA(ｎ)としA(ｎ＋1)/A(ｎ)が1より小を示す：

logｅ＝1、Σ[k=0→n]1/k!＝ｅ－Σ[k=ｎ＋1→∞]1/k!
に注意して
1-log(Σ[k=0→n]1/k!
＝{1/(ｎ＋1)!}(1/ｅ)[Σ[k=ｎ＋1→∞](ｎ＋1)!/k!](-1/ｕ)log(1-ｕ)
と変形する。ただしｕ＝(1/ｅ)Σ[k=ｎ＋1→∞]1/k!
同様に
1-log(Σ[k=0→n＋1]1/k!
＝{1/(ｎ＋2)!}(1/ｅ)[Σ[k=ｎ＋2→∞](ｎ＋2)!/k!](-1/ｖ)log(1-ｖ)
さてｘの関数（-1/ｘ)log(1-ｘ)はｘの単調増加関数であるから
A(ｎ＋1)/A(ｎ)の式中の
(-1/ｖ)log(1-ｖ)と(-1/ｕ)log(1-ｕ)の比はｖ＜ｕより＜1になる。
また
Σ[k=ｎ＋2→∞](ｎ＋2)!/k!－Σ[k=ｎ＋1→∞](ｎ＋1)!/k!
＝－Σ[k=ｎ＋2→∞]{(ｎ＋1)!/(ｋ-1)!{1-(ｎ＋2)/ｋ｝＜0
なので
A(ｎ＋1)/A(ｎ)の式中の
Σ[k=ｎ＋2→∞](ｎ＋2)!/k!とΣ[k=ｎ＋1→∞](ｎ＋1)!/k!の比も＜1
ゆえにA(ｎ＋1)/A(ｎ)＜1　です。

この回答へのお礼

すごいですね。
-log(1-ｕ)を(n+1)!/(n+1)! (-u/ｕ) log(1-ｕ)にするだけで魔法のようにうまくいくんですね。
不思議です。

ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/29 21:45

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2022/03/28 21:24

はい、たしかに単調減少です。

logの級数展開を使って確認できましたが
計算が複雑でどうまとめるか思案中です。