⑵と⑶がよくわかりません。 解答の導き方を教えていただきたいです。 お願いします。

⑵と⑶がよくわかりません。

解答の導き方を教えていただきたいです。
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/09 14:38

(2)y=1/xlogxのグラフをイメージ、不等式の左辺と右辺がそれぞれ、

縦(k+1)log(k+1)横１の長方形の面積と
縦klogk横１の長方形の面積　であり
中辺の積分はy=1/xlogxのグラフとx=kとx=k+1とx軸で囲まれた部分の面積
であることに思いが至れば(2)の不等式が成り立つのはは当然のことなんですが、それでは論理的でないので・・・


まず、y=1/xlogx(2≦x)の増減表を書いた方が良いかもしれません（グラフの概形もできれば書く）
2≦k<x<k+1のとき
1/(k+1)log(k+1)<1/xlogx<1/klogkであるから
∫[k～k+1]{1/(k+1)log(k+1)}dx<∫[k～k+1]{1/xlogx}dx<∫[k～k+1]{1/klogk}dx
よって
1/(k+1)log(k+1)<∫[k～k+1]{1/xlogx}dx<1/klogk

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/09 14:13

(3)

（２）の不等式にk=nから、k=n²-1までを代入して辺々加えると
Σ[K=n～n²-1]1/(k+1)log(k+1)＜Σ[K=n～n²-1]∫[k～k+1]dx/xlogx<Σ[K=n～n²-1]1/klogk…①
(2)の不等式でkをk-1に置き換えると
1/klogk＜∫[k-1～k]dx/xlogx
→Σ[K=n～n²-1]1/klogk<Σ[K=n～n²-1]∫[k-1～k]dx/xlogx…②
①②より
Σ[K=n～n²-1]∫[k～k+1]dx/xlogx<Σ[K=n～n²-1]1/klogk<Σ[K=n～n²-1]∫[k-1～k]dx/xlogx
⇔∫[n～n²]dx/xlogx<Σ[K=n～n²-1]1/klogk<∫[n-1～n²-1]dx/xlogx…③
(1)より∫[n～n²]dx/xlogx＝log(2logn)-log(logn)=log(2logn/logn)=log2
∫[n-1～n²-1]dx/xlogx＝log{log(n²-1)}ｰlog{log(n-1)}=log{log(n²-1)/log(n-1)}=log[1+{log(n+1)/log(n-1)}]
ロピタルの定理から
Lim[n→∞]{log(n+1)/log(n-1)}=lim[n→∞](n-1)/(n+1)=lim[n→∞]{1-(2/n+1)}=1だから
ｎ→∞のとき
∫[n-1～n²-1]dx/xlogx＝log[1+{log(n+1)/log(n-1)}]＝log2
よって③は「はさみうちの原理により」
ｎ→∞のとき　Σ[K=n～n²-1]1/klogk=log2
∴lim[n→∞]Sn=log2

（３）は少しややこしそうなので先にやってしまいました（誤記、計算ミス等で不明な点があれば再度質問してくださいませ）
（２）は後で回答します