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∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、またどうして∫√(1+x^2)dx=1/2{x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))}+となるのかを教えてください

A 回答 (5件)

← A No.1 補足


不定積分ができたなら、定積分は代入計算にすぎない。
∫√(1+4x^2)dx = (x/2)√(1+4x^2) + (1/4)log(2x+√(1+4x^2)) + (積分定数)
の右辺に、x=2 と x=0 を代入して、引き算しよう。
不定積分を置換積分で計算した後、変数を x に戻さないでいると、
4=tanθ となる θ の値は何だ? という所で、詰まってしまうかもしれないが。
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そうだね。


あとは、cos の符号に注意して
θ の範囲を適切にとる ことの
説明を添れば、完璧。
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>∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、∫[0~2]√(1+4x^2)dx



>またどうして∫√(1+x^2)dx=1/2{x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))}+となるのか
部分積分です。
f'(x)=1,f(x)=x ,g(x)=√(1+x^2),
g'(x)=(1/2)(1+x^2)^(-1/2)(2x)=x/√(1+x^2),
∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)-∫{x^2/√(1+x^2)}dx
=x√(1+x^2)-∫[{(1+x^2)-1}/√(1+x^2)]dx
=x√(1+x^2)-∫√(1+x^2)dx+∫{1/√(1+x^2)}dx
2項目を移項すると
2∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)+∫{1/√(1+x^2)}dx
∫{1/√(1+x^2)}dxの積分
x=tanθとおくと,dx=sec^2θdθ
√(1+x^2)=√(1+tan^2θ)=√sec^2θ=secθ
=∫sec^2θdθ/secθ
=∫secθdθ
=∫dθ/cosθ
=∫(cosθ/cos^2θ)dθ
=∫{cosθ/(1-sin^2θ)}dθ
ここで、sinθ=tとおくと、dt=cosθdθ
=∫{1/(1-t^2)}dt
部分分数に分けると、
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}dt
=(1/2){-log|1-t|+log|1+t|}+C
=(1/2)log|(1+t)/(1-t)|+C
=(1/2)log|(1+sinθ)/(1-sinθ)|+C
ここで、
(1+sinθ)/(1-sinθ)
=(1+sinθ)^2/(1-sin^2θ)
={(1+sinθ)/cosθ}^2
={(1/cosθ)+(sinθ/cosθ)}^2
={secθ+tanθ)^2
={x+√(1+x^2)}^2
よって、
∫{1/√(1+x^2)}dx
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}^2+C
=log|x+√(1+x^2)|+C
よって、
2∫√(1+x^2)dx
=x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|+Cより、
∫√(1+x^2)dx
=(1/2){x√(1+x^2)+log|x+√(1+x^2)|}+C

>∫[0~2]√(1+4x^2)dx
u=2xとおくと、du=2dxより、dx=(1/2)du x:0→2は、u:0→4
=∫[0~4](1/2)√(1+u^2)du
上の式に代入すると、
=[(1/2)×(1/2){u√(1+u^2)+log|u+√(1+u^2)|}][0→4]
=(1/4){4√(1+4^2)+log|4+√(1+4^2)|}
=√17+(1/4)log|4+√17|
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「解けなかった」って~のは, 具体的になにがどうなって「解けなかった」の?

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2x = tanθ と置いてみたら、


素敵なことが起こると思う。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
すいません、質問悪かったです。不定積分の問題なら2x = tanθ と置いて解けると思うんですが
本当の問題は∫[0~2]√(1+4x^2)dxの定積分なので、2x = tanθとおいても解けなかったです。

ちなみに∫[0~2]√(1+4x^2)dxの解答は√17+(1/4)log(4+√17)になるらしいのですがどうやっても答えがでないんです

お礼日時:2012/06/08 21:54

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→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
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={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
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やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
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<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

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1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む


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