次の積分の解き方を教えてください

解決済

質問者：kirofi
質問日時：2012/06/08 20:56
回答数：5件

∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、またどうして∫√（1+x^2）dx=1/2｛x√（1+x^2）+log(x+√（1+x^2）)｝+となるのかを教えてください

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回答 (5件)

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No.5ベストアンサー

回答者： alice_44
回答日時：2012/06/09 14:15

← A No.1 補足

不定積分ができたなら、定積分は代入計算にすぎない。
∫√(1+4x^2)dx = (x/2)√(1+4x^2) + (1/4)log(2x+√(1+4x^2)) + (積分定数)
の右辺に、x=2 と x=0 を代入して、引き算しよう。
不定積分を置換積分で計算した後、変数を x に戻さないでいると、
4=tanθ となる θ の値は何だ？という所で、詰まってしまうかもしれないが。

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No.4

回答者： alice_44
回答日時：2012/06/09 09:42

そうだね。

あとは、cos の符号に注意して
θ の範囲を適切にとることの
説明を添れば、完璧。

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No.3

回答者： ferien
回答日時：2012/06/09 01:50

＞∫√(1+4x^2)dxの解き方を教えてください、∫[0～２]√(1+4x^2)dx

＞またどうして∫√（1+x^2）dx=1/2｛x√（1+x^2）+log(x+√（1+x^2）)｝+となるのか
部分積分です。
f'（ｘ）＝１，ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝√（１＋ｘ^2），
ｇ'（ｘ）＝(1/2)（１＋ｘ^2）^(-1/2)（２ｘ）＝ｘ／√（１＋ｘ^2），
∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫｛ｘ^2／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫［｛（１＋ｘ^2）－１｝／√（１＋ｘ^2）］ｄｘ
＝ｘ√（１＋ｘ^2）－∫√（１＋ｘ^2）ｄｘ＋∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
２項目を移項すると
２∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）＋∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘの積分
ｘ＝tanθとおくと，ｄｘ＝sec^2θｄθ
√（１＋ｘ^2）＝√（１＋tan^2θ）＝√sec^2θ＝secθ
＝∫sec^2θｄθ／secθ
＝∫secθｄθ
＝∫ｄθ／cosθ
＝∫（cosθ／cos^2θ）ｄθ
＝∫｛cosθ／（１－sin^2θ）｝ｄθ
ここで、sinθ＝ｔとおくと、ｄｔ＝cosθｄθ
＝∫｛１／（１－ｔ^2）｝ｄｔ
部分分数に分けると、
＝(1/2)∫｛１／（１－ｔ）＋１／（１＋ｔ）｝ｄｔ
＝(1/2)｛－log｜１－ｔ｜＋log｜１＋ｔ｜｝＋Ｃ
＝(1/2)log｜（１＋ｔ）／（１－ｔ）｜＋Ｃ
＝(1/2)log｜（１＋sinθ）／（１－sinθ）｜＋Ｃ
ここで、
（１＋sinθ）／（１－sinθ）
＝（１＋sinθ）^2／（１－sin^2θ）
＝｛（１＋sinθ）／cosθ｝^2
＝｛（１／cosθ）＋（sinθ／cosθ）｝^2
＝｛secθ＋tanθ）^2
＝｛ｘ＋√（１＋ｘ^2）｝^2
よって、
∫｛１／√（１＋ｘ^2）｝ｄｘ
＝(1/2)log｛ｘ＋√（１＋ｘ^2）｝^2＋Ｃ
＝log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜＋Ｃ
よって、
２∫√（1+x^2）dx
＝ｘ√（１＋ｘ^2）＋log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜＋Ｃより、
∫√（1+x^2）dx
＝(1/2)｛ｘ√（１＋ｘ^2）＋log｜ｘ＋√（１＋ｘ^2）｜｝＋Ｃ

＞∫[0～２]√(1+4x^2)dx
ｕ＝２ｘとおくと、ｄｕ＝２ｄｘより、ｄｘ＝(1/2)ｄｕ　ｘ：０→２は、ｕ：０→４
＝∫[0～４](1/2)√(１＋ｕ^2）ｄｕ
上の式に代入すると、
＝［(1/2)×(1/2)｛ｕ√（１＋ｕ^2）＋log｜ｕ＋√（１＋ｕ^2）｜｝］［０→４］
＝(1/4)｛４√（１＋４^2）＋log｜４＋√（１＋４^2）｜｝
＝√１７＋(1/4)log｜４＋√１７｜

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No.2

回答者： Tacosan
回答日時：2012/06/09 00:54

「解けなかった」って～のは, 具体的になにがどうなって「解けなかった」の?

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No.1

回答者： alice_44
回答日時：2012/06/08 21:46

2x = tanθ と置いてみたら、

素敵なことが起こると思う。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
すいません、質問悪かったです。不定積分の問題なら2x = tanθ と置いて解けると思うんですが
本当の問題は∫[0～２]√(1+4x^2)dxの定積分なので、2x = tanθとおいても解けなかったです。

ちなみに∫[0～２]√(1+4x^2)dxの解答は√17+(1/4)log(4+√17)になるらしいのですがどうやっても答えがでないんです

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お礼日時：2012/06/08 21:54

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log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

　　　　　｜ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）｜
　Ｌｏｇ　――――――――――――
　　　　　｜ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜［ｘ－１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　｜［ｘ＋１＋√（ｘ＾２＋１）］［ｘ＋１ー√（ｘ＾２＋１）］｜

　　　　　｜［ｘ－（１－√（ｘ＾２＋１））］［ｘ＋（１ー√（ｘ＾２＋１））］｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜（ｘ＋１）＾２－（ｘ＾２＋１）｜

　　　　　｜ｘ＾２－（１－√（ｘ＾２＋１））＾２｜
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　｜ｘ＾２－１＋２√（ｘ＾２＋１）－ｘ＾２－１｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　－１＋２√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　　　　　　　　｜２ｘ｜

　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
＝Ｌｏｇ―――――――――
　　　　　　　　｜ｘ｜

　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜

　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　｜ｘ［√（ｘ＾２＋１）＋１］｜

　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

　　　１　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）－１
　――― ・Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

　　　１　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）－１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］
＝――― ・Ｌｏｇ―――――――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］［√（ｘ＾２＋１）＋１］

　　　１　　　　　　　　　　　　｜ｘ＾２｜
＝――― ・Ｌｏｇ――――――――――――
　　　２　　　　　　　　［√（ｘ＾２＋１）＋１］^２

　　　　　　　　　　　　｜ｘ｜
＝Ｌｏｇ――――――――――――
　　　　　　　√（ｘ＾２＋１）＋１

＝Ｌｏｇ｜ｘ｜－Ｌｏｇ［１＋√（ｘ＾２＋１）］
-----------------------------------------------------------