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XlogX をプラス側から0に近づける時について質問です。

Lim xlogx をx→+0 の時、

xはプラスの値をとりながら0に近づきますよね?

logx は-∞に近づきますよね?

この時、xlogx 全体としては0に近づくのでしょうか?それとも-∞に近づくのでしょうか?

教えてください。
お願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

置換しなくても直接ロピタルの定理を適用すれば済みます。


lim[x→+0] xlog(x) ←0*∞型
=lim[x→+0] log(x)/(1/x) ←∞/∞型なのでロピタルの定理適用
=lim[x→+0] (1/x)/(-1/x^2)
=lim[x→+0] (-x)
= 0 (正確には-0ですね)

また
y=xlog(x)(x>0)のグラフを描くと添付図のようになります。このグラフからも
グラフの曲線に沿ってx→+0に近付けて行くと y→-0 に収束することがわかります。
「XlogXを+側から0に近づける時」の回答画像2
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t = - log x の変換をすれば、


ロピタルの定理は使わずに済みます。

lim[x→+0] x log x = lim[t→+∞] - t/(exp t).
指数関数をテイラー展開すると
exp t = 1 + t + (1/2)(t2乗) + (1/6)(t3乗) + …
ですが、t > 0 のとき1右辺は各項が正なので、
exp t > (1/2)(t2乗).よって、
0 < t/(exp t) < t/{(1/2)(t2乗)} = 2/t.
ここで t→+∞ とすると、ハサミウチできます。
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log(x) が-∞に近づく速さに比べ


xが0に近づく速さが圧倒的なため、
Lim[x → +0] x・log(x) = 0
になります。

証明は次の通り:

log(x)=tとおいてみると、x→+0をt→-∞といいかえることが出来ます。

Lim[x → +0] x・log(x)
=Lim[t → -∞] exp(t)・t
=Lim[t → +∞] exp(-t)・(-t)
=Lim[t → +∞] (-t)/exp(t)

t → +∞ のとき分母、分子ともに発散するのでロピタルの定理を適用することが出来ます。
つまり、
分子の導関数 = -1
分母の導関数 = exp(t)
なので

=Lim[t → +∞] (-1)/exp(t)
=0

が極限値になります。

この証明と同じ方法で、例えば
Lim[x → +0] x・(log(x))^100 = 0
なども示すことが出来ます。
そのくらい、x → +0 での log(x)の発散のスピードはのろいのです。
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