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XlogX をプラス側から0に近づける時について質問です。

Lim xlogx をx→+0 の時、

xはプラスの値をとりながら0に近づきますよね?

logx は-∞に近づきますよね?

この時、xlogx 全体としては0に近づくのでしょうか?それとも-∞に近づくのでしょうか?

教えてください。
お願いします。

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A 回答 (3件)

置換しなくても直接ロピタルの定理を適用すれば済みます。


lim[x→+0] xlog(x) ←0*∞型
=lim[x→+0] log(x)/(1/x) ←∞/∞型なのでロピタルの定理適用
=lim[x→+0] (1/x)/(-1/x^2)
=lim[x→+0] (-x)
= 0 (正確には-0ですね)

また
y=xlog(x)(x>0)のグラフを描くと添付図のようになります。このグラフからも
グラフの曲線に沿ってx→+0に近付けて行くと y→-0 に収束することがわかります。
「XlogXを+側から0に近づける時」の回答画像2
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t = - log x の変換をすれば、


ロピタルの定理は使わずに済みます。

lim[x→+0] x log x = lim[t→+∞] - t/(exp t).
指数関数をテイラー展開すると
exp t = 1 + t + (1/2)(t2乗) + (1/6)(t3乗) + …
ですが、t > 0 のとき1右辺は各項が正なので、
exp t > (1/2)(t2乗).よって、
0 < t/(exp t) < t/{(1/2)(t2乗)} = 2/t.
ここで t→+∞ とすると、ハサミウチできます。
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log(x) が-∞に近づく速さに比べ


xが0に近づく速さが圧倒的なため、
Lim[x → +0] x・log(x) = 0
になります。

証明は次の通り:

log(x)=tとおいてみると、x→+0をt→-∞といいかえることが出来ます。

Lim[x → +0] x・log(x)
=Lim[t → -∞] exp(t)・t
=Lim[t → +∞] exp(-t)・(-t)
=Lim[t → +∞] (-t)/exp(t)

t → +∞ のとき分母、分子ともに発散するのでロピタルの定理を適用することが出来ます。
つまり、
分子の導関数 = -1
分母の導関数 = exp(t)
なので

=Lim[t → +∞] (-1)/exp(t)
=0

が極限値になります。

この証明と同じ方法で、例えば
Lim[x → +0] x・(log(x))^100 = 0
なども示すことが出来ます。
そのくらい、x → +0 での log(x)の発散のスピードはのろいのです。
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Qlimxlogx (x→0)について

友人にこの問題について「limx^2logx/x と変形してはダメか?」と聞かれましたが、どう答えればよいでしょうか。
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回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

>limx^2logx/x と変形してはダメか?」と聞かれましたが、どう答えればよいでしょうか。
ダメと答えればよい。
理由:分ける場合は、不定形にならない分け方にすることが定石だからです。
(x^2)→0
log(x)/x→-∞

0×∞型の不定形
になる分け方になるのでだめ。

xlogx=(log(x))/(1/x)と分けると
∞/∞型
となるので、分子分母を微分して(ロピタルの定理適用:参考URL参照)
(log(x))/(1/x)→(1/x)/(-1/x^2)=-x →0
とゼロに収束しますね。

参考URL:http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm

Q極限

lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
なぜ、0になるのか教えてください。logx が1になるのがわかりません。
それと、lim ( x → 0 ) logx / x  の場合はどうなるのでしょうか。
お願いします。

Aベストアンサー

>lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
と書かれてますが、別にlogxが1になるから1/∞で0になるわけではないですよ。
∞/∞の形でも0に収束することはあります。

簡単な例で
  lim[x→∞]{(x+2)/(x^2+1)}=0
でも、0に収束していますが、別にx+2 → 1となって、1/∞になるわけではないですよね。
ようは、分母も分子もxが大きくなればどんどん大きくなる、無限まで大きくなるわけだけど、xよりx^2の方が大きくなるのが早いから0に収束するわけですよね。
逆の言い方をすると、xの増える速さではx^2の増える早さには追いつけないのです。
自動車で新幹線を追いかけるようなもんです。

質問の式でも同じことが言えます。
logxの増える速さではxの増える早さに追いつけないのです。
グラフを描けばわかるのですが、y=xのグラフは一定の割合でどんどん増えていきますが、y=logxのグラフはxが大きくなるほど増える幅が小さくなって伸び悩んでますよね。
だからlogxの増える速さでは、xの増える早さにはかなわない。
割合を取れば、最終的には0に収束してしまう、というわけです。

数学的な証明は他の方も書かれてますが、考え方・イメージとしてはこんな感じです。

>lim ( x → ∞ ) logx / x = ( 1 / ∞ ) = 0
と書かれてますが、別にlogxが1になるから1/∞で0になるわけではないですよ。
∞/∞の形でも0に収束することはあります。

簡単な例で
  lim[x→∞]{(x+2)/(x^2+1)}=0
でも、0に収束していますが、別にx+2 → 1となって、1/∞になるわけではないですよね。
ようは、分母も分子もxが大きくなればどんどん大きくなる、無限まで大きくなるわけだけど、xよりx^2の方が大きくなるのが早いから0に収束するわけですよね。
逆の言い方をすると、xの増える速さではx^2の増える...続きを読む

Q∫1/(x^2+x-1)dxの計算方法を教えてください

この積分はどうやって計算すればいいのでしょうか。

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Aベストアンサー

>x^2+x-1は部分分数にも分解できないし
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Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
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一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む

Qlim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明

lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
「任意のn∈Nに対して、lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか?
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

f(x)=x^(n+1)/e^x (x>0) を考える.
f ' (x)=(x^n(n+1-x))/e^x
よりf(x)の最大値はf(n+1)=((n+1)^(n+1))/e^(n+1)
そこで次の不等式が成り立つ.
0<x^n/e^x=(x^(n+1)/e^x)・(1/x)≦((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)
極限をとると,
lim[x→∞]((n+1)^(n+1))/e^(n+1)・(1/x)=0
ハサミウチでlim[x→∞]x^n/e^x=0

Qarcsinxの積分は?

タイトルのとおり、arcsinx の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
部分積分を使って解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたか教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 ∫x'arcsinx dx
= x・arcsinx - ∫x(arcsinx)'dx

f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
= -cosy
= -√(1-(siny)^2)
= -√(1-x^2)

したがって、
∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法...続きを読む

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む


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