100!は何桁か。

100!は何桁か。
(筆記用具のみ)


計算がややこしくてわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/07/18 22:05

#2の者です。

lnは自然対数です。（つまり、底がeの対数です）

ある数の常用対数(底が10の対数)をとると、その数の(10進法での)桁数がわかります。
n≦log10(X)<n+1
となるXの桁数はn+1になります。

例)X=1000とすると、
3≦log10(1000)<4
より、4桁


一応積分計算を詳しく書くと、
log10(100!)
≒∫[1,100]log10(x)dx
=∫[1,100]{ln(x)}/{ln(10)}dx（底の変換公式より）
=1/{ln(10)}*[{100*ln(100)-1*ln(1)}-∫[1,100]dx]（部分積分で計算）
={100*ln(100)-99}/{ln(10)}
≒157.005
です。
ln(100)とln(10)の値がわからないといけないので、厳密には筆記用具だけでは解けていないと言われても仕方ないかもしれません。

No.5 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/07/19 10:00

わざわざ、問題文に『筆記用具のみ』とヒントが書いてあるでしょう？

No.4 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/07/18 23:24

いちおうアドバイスすると、これは対数の問題ではなくて、割り算の問題です。

この回答への補足

157≦(100ln100－99)/ln10＜ln10(100!)
であっても
ln10(100!)＜158
が言えないので159桁以上の可能性があると思います。まず
(100ln100－99)/ln10－157＝200－99/ln10－157
＝43－99/ln10≧0
を示したいです。

補足日時：2010/07/19 09:12

No.2 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2010/07/18 18:30

関数電卓か自然対数表を使っていいなら……。

スターリングの公式を援用して、
log10(100!)≒∫[1,100]log10(x)dx={100*ln(100)-99}/{ln(10)}≒157.005
より、158桁。

この回答への補足

(100ln100-99)/ln10
≒157.005
がわかりません。
また158桁になるのもわかりません。

補足日時：2010/07/18 20:58

No.1 回答者： lmint 回答日時： 2010/07/18 18:11

3桁

この回答への補足

100ビックリ。
じゃなくて
100の階乗です。

補足日時：2010/07/18 18:25