sinz=2i の解き方が分かりません

sinz=2i の解き方なんですが、
(exp(iz)-exp(-iz))/2i=2i と書き換えて
exp(2iz)=1/5としたんですが、
そこからどう解けばいいのか分かりません。

答えは
z=nπ+i*log{√5+2(-1)^n}　(nは整数)
でした。

分かる方がいらっしゃったら、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/06/10 16:52

z=x+iyとおいて

sinz=sinxcoshy+icosxsinhy=2i

sinxcoshy=0 ...(1)
cosxsinhy=2 ...(2)
(1)からsinx=0 ⇒ x=nπ
cosx=cos(nπ)=(-1)^n
sinhy=2/cosx=2*(-1)^n
y=arcsinh(2*(-1)^n)=log(2*(-1)^n+√5)
(参考URLの逆双曲線関数の公式より)

∴z=nπ+log(√5+2*(-1)^n)

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数