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某参考書の解答には(log|tanx|)'=(tanx)'/tanx=1/sinxcosxより、1/sinxcosxの原始関数のひとつは、log|tanx|である。とあったのですが、さすがにこれは思いつく自信がないなぁ~と思いました。こういうのは覚えてしまったほうがよいのでしょうか????それとも、他に方法があるのでしょうか????唐突な質問ですみませんでした。

A 回答 (5件)

こういうのは全部覚えるなんて無理です。


sin、cosの微分積分とか、加法定理とか基本的なものは最低でも
覚えたほうが良いですが、あとは組み合わせとか、対数とかの知
ってる関数の形に工夫して変形します。

問題の例は、たとえば2倍角の公式を使うと、
1/sinxcosx=2/sin2x=2sin2x/sin^2(2x)=2sin2x/(1-cos^2(2x))
となって、この積分でcos2x=tとおくと、-2sin2xdx=dtとなって、
1/(t^2-1)の積分を求めることになります。
これは、
(1/2)(1/(t-1)-1/(t+1))
と変形できるので、積分は、
(1/2)(log|t-1|-log|t+1|)=(1/2)log|(t-1)/(t+1)|
となって、t=cos2xと戻すと、
log|tanx|
になります。

前の方のほうが簡単なやりかたですが、やりかたは色々あります、
ということでご参考まで。

定石というか、いくつかのパターンはあると思いますが、こういう
のはもう理屈というより、こうなってほしい、という願望のもとに
変形している場合が多いです。
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ーーーー


いやはや豪華なMEMBERです。
推測 どなたも (log|tanx|)'= はみえている。
推測 なのに、どなたも (log|tanx|)'= に言及されない、理由は<いつでも見えるはずはなく、基本を幾つか組み合わせた思考をしなさい。>としか読めないのです。
ーー
本問題の基本とは
(1) 
∫(cosA/sinA)dA=ーlog|cosA| または
∫(sinA/cosA)dA=log|sinA|
(2)
1を【(cosA)^2】+【(sinA)^2】  とよむ。
#1様と#2様の解法は(1)(2)で充分となります。
ーー
(3)
分母・分子に同じものを掛ける。
本問題では
1/(sinA)(cosA)
=2/(2sinAcosA)
=2/sin2A
=2(sin2A)/(sin2A)
=2(sin2A)/(sin2A)(sin2A)
=2(sin2A)/(1-cos2A)(1+cos2A)
=【(sin2A)/(1-cos2A)】+【(sin2A)/(1+cos2A)】
=【log|(1-cos2A)|】ー【log|(1+cos2A)|】
=(1/2)【log|(1-cos2A)|】ー(1/2)【log|(1+cos2A)|】
=(1/2)【log|(1-cos2A)/(1+cos2A)|】
 半角の公式を適用して、
=(1/2)【log|(tanA)^2|】
=結果 となり <(3)分母・分子に同じものを掛ける。>なる技法
が加味されています。これが#3様の解法です。
ーー
最後に#4様の技法は、<最終兵器>とも言えるもので、計算は煩雑になりますが、基本は同じ様なきがします(記憶があります)。tan(x/2)=t と 置いて <解く>と言うより<秘密の解明>と言う観点で検証して、締めます。

括弧の多用緩和する。ためにA、B、Tを使用。また若干、表記が曖昧になる事も承知されたい。

P=∫(1/sinAcosA)dA

A=2B と置く、
sin2B
=(2sinBcosB)/(cosA)^2+(sinA)^2)・・・(2)使用
=2tanB/(1+tanB^2)
   <tanB=tan(A/2)=T>
=(2T)/(1+T^2)
また
cos2B=((cosA^2)-(sinA^2))/(cosA)^2+(sinA)^2)
=(1-tanB^2)/(1+tanB^2)
=((1-T^2)/(1+T^2)

詳細は略するがこの結果は重要・・・(#)
sinA=(2T)/(1+T^2)
cosA=((1-T^2)/(1+T^2)・・・著名な媒介変数表示

tan(A/2)=T
dA(1/2)(1/((cos(A/2))^2)=dT
dA(1/2)(1+tan(A/2))=dT
dA(1/2)(1+T^2)=dT
dA=dT*2*(1/(1+T^2))

また
(1/sinAcosA)dA
=【(1+T^2)(1+T^2)/2T(1-T^2)】【dT*2*(1/(1+T^2))】
=【(1+T^2)/T(1-T^2)】dT
ここで部分分数分解
【(1+T^2)/T(1-T^2)】=(D/T)+(E/(1-T))+(F/(1+T))
両辺にT(1-T)(1+T)をかける。
(1+T^2)=D(1-T)(1+T)+E(1+T)T+F(1-T)T
両辺に0を代入 1=D
両辺に1を代入 2=2E
両辺にー1を代入 2=-2F

P=∫(1/sinAcosA)dA
=∫【(1/T)+(1/(1-T))-(1/(1+T))】dT
=【log|T|-log|1-T|-log|1+T|】
=【log|T/(1-T^2)|】
=【log|2T/(1-T^2)|-log|2|】
   <倍角の公式使用>
=【log|tanA|-log|2|】
=log|tanA|+(積分定数)
ーー
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三角関数の分数関数の積分は、どうしてもわからなければ最終手段として、tan(x/2)=t と置換すると、tの分数関数の積分になって、部分分数分解すれば積分できます。

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三角関数が絡んだ積分にはいくつかのパターンがあります.


この場合は部分分数展開(の変種)です.

1/(sin(x) cos(x)) = cos(x)/sin(x) + sin(x)/cos(x)

こうすれば,原始関数(の一つは)は
log|sin(x)| - log|cos(x)| = log|tan(x)|
なのは対数微分から自明です.

いくつかのお約束の解き方(いわゆる定石)があるのですが,
三角関数の比較的簡単な式が分母にある場合は
部分分数から対数微分にもっていくようなことを考えることが
あります.今回はこのケースです.
傾向としては,三角関数が分母にあると
対数微分を経由して対数がでてくることがよくあります.

他にも有名なのは,t=tan(x)とかt=tan(x/2)とおいて
置換積分をするタイプです.
これは計算はかなりしんどいことが多いのですが,
かなり適用範囲が広い手です.

あとは三角関数の諸公式を用いて
「知ってる形に無理やりもっていく」のも
よくでてきます.

部分分数展開の質問でも「定石」というような表現をされていますが,
「定石だから覚える」というのを出発点としても
最終的には,この手のものはひたすら計算訓練をして,
直観が働くレベルまでにするのが理想です.

おまけ:1/sin(x),1/cos(x) の積分できますか?
#解法は一つではありません
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ぱっと見て感じたのは



1/sinxcosx={(sinx)^2+(cosx)^2}/sinxcosx=sinx/cosx+cosx/sinx

∫1/sinxcosx dx=∫(sinx/cosx+cosx/sinx)dx
=log|sinx|-log|cosx|
=log|tanx|

同じ結果になりました。。。。
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