複素関数の問いの答えを教えてください！

log(2i)をa+biの形で表すのにはどうやって解けばいいのでしょか？

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/07/18 19:43

>　e^(a+bi) = (e^a)*{ cos(b)+isin(b) } = 2i　と整形し、右辺 2 項の実 & 虚部を等置して、

>　(e^a)*cos(b) = 0　　　…(Re)
>　(e^a)*sin(b) = 2　　　…(Im)

　　　　　↓
目算で見当つかなきゃ、本腰を入れ (Re), (Im) の連立系を解く…。
　　　　　↓

　(Im)/(Re) → b = arctan(2/0) = π/2
　(Re)^2 + (Im)^2 → e^(2a) = 4 → e^(a) = 2 → a=LN(2)

…てな調子ですか。
　　

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/07/18 12:10

>log(2i)をa+biの形で表すのにはどうやって解けばいいのでしょか？

log(2i) = a+bi とする。
これは、e^(a+bi) = 2i を意味するらしい。

…ならば、
　e^(a+bi) = (e^a)*{ cos(b)+isin(b) } = 2i
と整形し、右辺 2 項の実 & 虚部を等置して、
　(e^a)*cos(b) = 0　　　…(Re)
　(e^a)*sin(b) = 2　　　…(Im)
を得る。

目算だと b=π/2, a=LN(2) らしくみえる。

…というのが、ランチ・アワー向きのシナリオ。

　　

No.3 回答者： sunflower-san 回答日時： 2014/07/15 14:38

虚数単位 i は複素平面上で原点を中心、1を"3時の方向"として、"12時の方向"に有りますよね？

つまり、i の偏角は90度 = π/2 ラジアンです。
z を0でない複素数とします。このとき、r を z の原点からの距離(つまり正の実数値を取ります)、θを3時の方向を 0 度として反時計回りに測った角度(ラジアンでの値)とすると、 log(z) = log(r) + iθとなります。
今回の問題では、
2i は原点から12時方向に 2 進んだ点なので、
r = 2, θ= π/2
ですね？

よって、
log(2i) = log(2) +(π/2) i
となります。

ただし、注意しなければいけないのは、
θの値の取り方には2π(一周分)の整数倍ずれの自由度があるということです。
たとえば、今回の問題では 0≦θ< 2π の範囲にあるθを取りましたが、この範囲外では
θ= -3π/2 や θ= 5π/2, -7π/2, 9π/2 など幾つも(無限に)取り方があります。

これは exp(x) という関数が、m を任意の整数として、exp(x +2πm i) = exp(x)
を満たす、つまり「2πi の整数倍ずれても値が変化しない」という周期関数になっていたことの現れで、
exp の逆関数として定義された log の値が 「2πi の整数倍ずれを除いてしか定まらない」ためです。

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/07/15 14:16

i=e^(i (2nπ+(π/2))) という指数表現変換を用いて

log(2i)=log(2)+log(e^(i (2nπ+(π/2))))
　=log(2)+ ((2nπ+(π/2)) i)log(e)
　=log(2)+ (2nπ+(π/2)) i
ただし、nは任意の整数、logは複素自然対数関数

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/07/15 14:03

log(2i)=a+bi

2i=exp(a+bi)=exp(a)(cosb+isinb)

実部と虚部を比較して

exp(a)cosb=0

exp(a)sinb=2

b=π/2

exp(a)=2

すなわち

a=log2



又は


2i=r*exp(iΘ）

という極座標表示を用いて

2i=r*cosΘ+i*r*sinΘ

r*cosΘ=0

r*sinΘ=2

Θ=π/2

r=2

log(2i)=log[r*exp(iΘ）]=logr+iΘ

=log2+i(π/2)